VvedvmathZO2

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова"

È.Э. Головичева, В. В. Лодейщикова

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Учебно-методические указания и варианты контрольных заданий для студентов-заочников

Барнаул 2013

ÓÄÊ 517 (075.5)

Головичева, И. Э. Введение в математику: учебнометодические указания и варианты контрольных заданий для студентов-заочников/ И. Э. Головичева, В. В. Лодейщикова. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2013. 50 с.

Учебно-методические указания для студентов-заочников содержат материал для изучения в 1 семестре дисциплины "Введение в математику" для всех направлений бакалавриата технического ВУЗа. Указания включают в себя четыре главы: элементы теории множеств, комплексные числа, функции одной действительной переменной и варианты заданий контрольной работы. Каждая глава содержит необходимый теоретический материал, сопровождаемый большим количеством примеров и задач с подробными решениями.

Рассмотрены и одобрены на заседании кафедры "Высшая математика"АлтГТУ. Протокол 7 от 01.07.2013 г.

Рецензент: к.т.н., доцент В. П. Зайцев.

2

1.1Основные понятия. Операции над множествами . . . 8

3.1Понятие функции. Способы задания функций . . . . 17

3.4Основные элементарные функции и их графики. Эле-

ментарные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1Пример выполнения заданий контрольной работы . . 31

3

Предисловие

Данные учебно-методические указания предназначены, в первую очередь, для студентов-заочников первого курса, изучающих дисциплину "Введение в математику". Каждая глава содержит основные теоретические сведения и формулы, необходимые для решения задач. Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества примеров.

Для сокращения записей иногда будем использовать некоторые простейшие логические символы:

=) означает "из предложения следует предложение

";

() "предложения и равносильны", т. е. из следует и из следует ;

8 означает "для любого", "для всякого";

9 "существует","найдется"; : "такое, что".

Так как данный курс опирается на знания, полученные в школе, то сделаем обзор оcновных формул элементарной математики.

Обзор основных формул элементарной математики

Формулы сокращенного умножения

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,

(a b)2 = a2 2ab + b2, a2 b2 = (a b)(a + b),

a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2), a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2),

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3,

(a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3.

Степени и корни

Пусть n натуральное число, a действительное число, тогда

an = a a : : : a,

(корень четной степени из отрицательного числа не определен)

4

Далее, пусть a > 0, b > 0, m; n действительные числа, тогда

ãäå x1, x2 корни квадратного уравнения.

Квадратный трехчлен ax2 + bx + c, a 6= 0,

разложение квадратного трехчлена на множители ax2 + bx + c = a(x x1)(x x2),

ãäå x1, x2 корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.

Тригонометрия

1 sin 1, 1 cos 1, tg = cossin , ãäå 6= 2 + n, n 2 Z,

5

6

Формулы преобразования произведения в сумму

cos cos = 12 (cos( ) + cos( + )),

sin sin = 12 (cos( ) cos( + )),

sin cos = 12 (sin( ) + sin( + )).

Логарифмы

loga b = c (a > 0; b > 0; a 6= 1) тогда и только тогда, когда ac = b.

Логарифмы по основанию 10 называются десятичными логарифмами: log10 a = lg a.

Логарифмы по основанию e (e 2; 72) называются натуральными логарифмами: loge a = ln a.

Основное логарифмическое тождество: blogb a = a.

loga 1 = 0, loga a = 1,

loga bm = m loga b, logam b = m1 loga b (a > 0; b > 0; a 6= 1),

loga b c = loga b + loga c, loga cb = loga b loga c (a > 0; b > 0; c > 0; a 6= 1),

7

Элементы теории множеств

1.1Основные понятия. Операции над множествами

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку.

Пример 1.1. Множество студентов в группе.

Пример 1.2. Множество дней недели.

Пример 1.3. Множество целых чисел.

Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C,. . . .

Определение 1.1. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.

Элементы множества обозначаются малыми буквами латинского алфавита: a, b, c,. . . .

Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x 2 X. Если элемент x не принадлежит множеству X, то записывают x 62X. Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым и обозначается ?.

Пример 1.4. Элемент 1 принадлежит множеству цифр в числе 214 , а элемент 3 не принадлежит данному множеству.

Основные способы задания множеств

1)Множество может быть определено непосредственным перечислением всех своих элементов. В этом случае элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которого они перечислены. Например, множество цифр в числе 214 может быть записано как A = f2; 1; 4g.

2)Множество можно определить с помощью свойства, которым об-

ладают все элементы этого множества и только они. Например, запись B = fb j b2 3b + 2 = 0g означает, что множество B состоит из корней указанного квадратного уравнения.

8

Заметим, что можно задавать и бесконечное множество. Например, A = f2; 4; 6; 8; : : : g множество четных положительных

чисел.

Определение 1.2. Множество A называется подмноже-

ством множества B, если каждый элемент множества A является элементом множества B.

Символически это обозначают так: A B. Заметим, что для любого множества X верны включения: ? X, X X.

Пример 1.5. Перечислить все подмножества множества

A = f2; 1; 4g.

Решение. Получаем 8 подмножеств данного множества: ?, f2g, f1g, f4g, f2; 1g, f2; 4g, f1; 4g, f2; 1; 4g.

Определение 1.3. Говорят, что множества A и B равны èëè

совпадают (A = B), если A B и B A. Другими словами, мно-

жества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.

Далее будем считать, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого универсального множества U.

Перейдем к определению операций над множествами и будем их наглядно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Множества будем обозначать в виде кругов, а универсальное множество U прямоугольником.

Определение 1.4. Пересечением множеств A и B называется

множество A \ B, состоящее из элементов, входящих и в A, и в

B:

A \ B = fxjx 2 A è x 2 Bg:

9

Определение 1.5. Объединением множеств A и B называет-

ся множество A [ B, состоящее из элементов, которые принад-

лежат хотя бы одному из множеств A, B:

A [ B = fxjx 2 A èëè x 2 Bg:

Определение 1.6. Разностью множеств A и B называется

множество A n B, состоящее из элементов множества A, кото-

рые не входят в B:

A n B = fxjx 2 A è x 62Bg:

Определение 1.7. Дополнением к множеству A называется множество A, состоящее из элементов, не входящих в A:

A = fxjx 62Ag:

10