VvedvmathZO2

x3

функция y = x2 1 является неч¼тной. График этой функции симметричен относительно начала координат.

1

3) Областью определения функции y = x 1 является множество D(f) = ( 1; 1) [ (1; +1); которое не является симметричным

относительно нуля, следовательно, данная функция общего вида, т. е. не является ни ч¼тной, ни неч¼тной.

Определение 3.4. Функция f(x) называется периодической,

если 9 T > 0: 8x 2 D(f) (x + T ) 2 D(f) и f(x + T ) = f(x). Наименьшее из таких чисел T называется периодом функции.

Пример 3.6. Функции sin x, cos x периодические с периодом 2 , а функции tg x, ctg x периодические с периодом .

Пример 3.7. Исследовать функции на периодичность и указать период функции в случае ее периодичности:

21

2) Воспользуемся формулой понижения степени и получим:

Пусть функция y = f(x) определена на множестве D(f) и пусть некоторое множество D1 D(f). Если для любых значений x1; x2 2 D1 из неравенства x1 < x2 следует неравенство:

f(x1) < f(x2), то функция называется строго возрастающей на множестве D1;

f(x1) f(x2), то функция называется возрастающей на множестве D1;

f(x1) > f(x2), то функция называется строго убывающей на множестве D1;

f(x1) f(x2), то функция называется убывающей на множестве

D1.

Возрастающие, строго возрастающие, убывающие и строго убывающие функции на множестве D1 называются монотонными на этом множестве, а строго возрастающие и строго убывающие

строго монотонными.

Например, функция y = f(x), изображенная на следующем рисунке строго убывает на интервале (a; b), строго возрастает на интервале (b; c) и убывает на интервале (c; d).

22

Функция y = f(x), определенная на множестве D, называ-

åòñÿ ограниченной сверху на этом множестве, если существует число M 2 R такое, что для всех x 2 D выполняется неравенство

f(x) M. Если для функции y = f(x), определенной на множестве D, существует число m 2 R такое, что для всех x 2 D выполняется неравенство f(x) m, то она ограниченна снизу íà ýòîì

множестве.

Функция y = f(x), определенная на множестве D, называется

ограниченной на этом множестве, если она ограничена и сверху, и снизу, т. е. существует такое число C > 0, что для всех x 2 D вы-

полняется неравенство jf(x)j C. График ограниченной функции лежит между прямыми y = C и y = C.

Функцию, не являющуюся ограниченной на множестве D, называют неограниченной на множестве D. Это означает, что для любого числа C существует x0 2 D такое, что jf(x0)j > C.

3.3Операции над функциями

Для функции естественным образом определяются арифметические действия:

(f1 f2)(x) = f1(x) f2(x);

(f1 f2)(x) = f1(x) f2(x);

f1 (x) = f1(x): f2 f2(x)

Область определения каждой из новых функций пересечение облаcтей определения функций f1(x) è f2(x). В случае частного необ-

ходимо также удалить точки, в которых знаменатель обращается в нуль.

Пусть функция y = f(u) определена на множестве D, а функция u = '(x) на множестве D1, причем для любого x 2 D1 соответ- ствующее значение u = '(x) 2 D. Тогда на множестве D1 определе- на функция y = f('(x)), которая называется сложной функцией (или cуперпозицией заданных функций).

Пример 3.8. Для функций f(x) = cos x1 è g(x) = ln(x2 + 2) найти сложные функции f(g(x)), g(f(x)), f(f(x)), g(g(x)).

23

Решение. Пусть u = g(x) = ln(x2 + 2), f(u) = cos u1 .

1 Тогда f(g(x)) = cos ln(x2 + 2).

Аналогичным образом получаем, что

задана функция y = f(x) с областью определения D и множеством значений E. Если каждому значению y 2 E соответствует единственное значение x 2 D, то определена функция x = '(y) с областью определения E и множеством значений D. Такая функция

'(y) называется обратной к функции f(x) и записывается в виде: x = '(y) = f 1(y). Функции y = f(x) и x = '(y) в этом случае

называют взаимно обратными.

Чтобы найти функцию x = '(y), обратную к функции y = f(x), достаточно решить уравнение f(x) = y относительно x

(если это возможно). Если аргумент обратной функции обозначить, как обычно, через x, а значение функции через y, то взаимно обратные функции можно записывать в виде y = f(x) и y = f 1(x).

Для взаимно обратных функций при любом x из области определения D справедливо равенство:

f 1(f(x)) = x:

Из определения обратной функции вытекает, что функция y = f(x) имеет обратную тогда и только тогда, когда функция

f(x) задает взаимно однозначное соответствие между множества-

24

ми D и E, т. е. каждому элементу множества D соответствует ровно один элемент множества E, при этом, определено обратное соответствие, при котором каждому элементу множества E соответствует ровно один элемент множества D. Отсюда следует, что любая стро-

го монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Заметим, что графики взаимно обратных функций y = f(x) и y = f 1(x) симметричны относительно биссектрисы первого и

третьего координатных углов (т. е. относительно прямой y = x).

Пример 3.10. Определить, какие из перечисленных функций имеют обратные. Найти соответствующие обратные функции.

25

x

2) Функция y = f(x) = e 2 , определенная на всей числовой оси, возрастает на своей области определения. Выражая x из равен-

f 1(x) = 2 ln x.

3)Заметим, что для функции y = x4, определенной на всей число- вой оси, обратной не существует, т. к. одному значению y соответствует два значения x (так, если y = 1, то x1 = 1 è x2 = 1).

Однако, если рассмотреть данную функцию, определенную на

интервале [0; +1), то в этом случае обратной является функ- p

öèÿ y = 4 x. Значит, для функции y = f(x) = x4, x 2 [0; +1) p

обратной является функция f 1(x) = 4 x.

26

3.4Основные элементарные функции и их графики. Элементарные функции

Основными элементарными функциями называют следующие функции: постоянная функция y = C (C 2 R), степенная функция

y = x ( 2 R), показательная функция y = ax (a > 0, a 6= 1), ëî-

гарифмическая функция y = loga x (a > 0, a 6= 1), тригонометри- ческие функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x и обратные

тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x. Напомним их графики и некоторые свойства.

1)Постоянная функция y = C (C 2 R). Графиком является прямая, параллельная оси Ox (горизонтальная прямая), проходящая через точку (0; C) на оси Oy.

2)Степенная функция y = x ( 2 R). Область определения и

свойства степенной функции существенно зависят от показателя степени .

27

3)Показательная функция y = ax (a > 0, a 6= 1). Область определения показательной функции D(y) = R, множество значе- ний E(y) = (0; +1).

4)Логарифмическая функция y = loga x (a > 0, a 6= 1). Область определения логарифмической функции D(y) = (0; +1), множество значений E(y) = R.

5) Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.

28

6) Обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

29

Определение 3.5. Функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией.

30