1. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Числовой ряд сходится, если имеет предел. Сходящийся ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , иначе – условно сходящимся. Т.е. ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Свойства абсолютно сходящихся рядов:

1. Теорема: Для абсолютной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с неотрицательными членами.

2. Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.

3. Теорема: При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.

4. Если ряды и сходятся абсолютно и их суммы равны соответственно и , то ряд, составленный из всех произведений вида взятых в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна - произведению сумм перемножаемых рядов.

2. Функциональные ряды. Точка сходимости ряда. Степенной ряд.

Функциональный ряд – ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а некоторая функция .

Пусть фиксированная точка, тогда сходится, если – точка сходимости, и расходится, если – точка расходимости.

Степенной ряд – ряд вида , где - некоторые постоянные.

3. Мажорируемые и равномерно сходящиеся ряды.

Ряд называется мажорируемым если существует числовой ряд все члены которого положительны и который сходится и при этом выполняется для .

Сходящийся ряд - сумма которого равна на - называется равномерно сходящимся если для

Теорема. Мажорируемый ряд равномерно сходиться.

Теорема. Сумма ряда непрерывных функций мажорируемого на некотором отрезке , есть функция непрерывная на этом отрезке.

Теорема. Пусть ряд составленный из непрерывных на функция сходиться равномерно, тогда этот ряд можно почленно интегрировать.

4. Сходимость степенных рядов. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля: Если степенной ряд сходится при , то он абсолютно сходится при всех .

Доказательство: Пусть ряд сходится, тогда и потому существует такая постоянная , что В силу этого для n-ого члена ряда имеем . Если , то ряд - сходится. Поэтому по признаку сравнения сходится и ряд , а это означает абсолютную сходимость ряда при .

Следствие. Если степенной ряд расходиться при , то он расходится при всех

Радиус сходимости степенного ряда – радиус круга сходимости степенного ряда, т.е. такое число , что ряд сходится при и расходится при . На границе круга сходимости ряд может как сходиться, так и расходиться.

5. Определение радиуса сходимости степенного ряда. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Свойства степенных рядов.

Радиус сходимости степенного ряда определяется с помощью признака Даламбера и радикального признака Коши.

Признак Даламбера: Если существует предел , то ряд абсолютно сходится, если , а если - расходится. Замечание. Если , то признак Даламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

- радиус сходимости.

Радикальный признак Коши: Пусть дан ряд -с положительными членами и существует предел . Тогда если - сходиться. - расходиться.

- радиус сходимости

Свойства степенных рядов:

1. Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости

2. Степенные ряды и имеющие радиусы сходимости соответственно и , можно почленно складывать, умножать и вычитать. Радиус сходимости при этом не меньше чем меньшее из чисел и .

3. Степенные ряды можно почленно дифференцировать и интегрировать внутри интервала сходимости.