49. Теорема о выборочном среднем. Исправленная выборочная дисперсия.

В качестве точечной оценки для “a” берут выборочную среднюю (выборочной средней называется среднее арифметическое выборки). .

Теорема: выборочная средняя является состоятельной и несмещенной оценкой математического ожидания .

Доказательство:

Нужно доказать, что в вероятностном смысле стремится к “a”, и что - несмещенность. Чтобы доказать это, к последовательности случайных величин , каждая из которых имеет тот же закон распределения, что и , применим теорему Чебышева: . В левой части – выборочная средняя.

Найдем правую часть. В силу теоремы Чебышева: . Самостоятельность доказана. Вычислим математическое ожидание:

Теорема доказана.

Найдем дисперсию выборочной средней: ,

при .

Исправленная выборочная дисперсия:

Выборочная дисперсия в математической статистике — это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки. Различают выборочную дисперсию и несмещённую, или исправленную, выборочные дисперсии.

Пусть — выборка из распределения вероятности. Тогда

• Выборочная дисперсия — это случайная величина , где символ обозначает выборочное среднее.

• Несмещённая (исправленная) дисперсия — это случайная величина .

Очевидно, что

50. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.

Пусть — выборка из распределения , зависящего от параметра . Пусть есть функция , такая что g(X) интегрируема относительно меры , и , где — биекция. Тогда оценка

называется оценкой параметра методом моментов.

Метод максимального правдоподобия (также метод наибольшего правдоподобия) в математической статистике — это метод оценивания неизвестного параметра путём максимизации функции правдоподобия.

Пусть есть выборка из распределения , где — неизвестный параметр. Пусть — функция правдоподобия, где . Точечная оценка называется оценкой максимального правдоподобия параметра θ. Таким образом, оценка максимального правдоподобия — это такая оценка, которая максимизирует функцию правдоподобия при фиксированной реализации выборки.

51. Интервальное оценивание параметров. Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии.

Интервальное оценивание параметров: Точечные оценки параметров генеральной совокупности могут быть приняты в качестве ориентировочных, первоначальных результатов обработки выборочных данных. Их недостаток заключается в том, что неизвестно, с какой точностью оценивается параметр. Если для выборок большого объема точность обычно бывает достаточной (при условии несмещенности, эффективности и состоятельности оценок), то для выборок небольшого объема вопрос точности оценок становится очень важным.

Введем понятие интервальной оценки неизвестного параметра генеральной совокупности (или случайной величины , определенной на множестве объектов этой генеральной совокупности). Обозначим этот параметр через . По сделанной выборке по определенным правилам найдем числа ₁ и ₂, так чтобы выполнялось условие: P(₁< < ₂) =P ((₁; ₂)) = 

Числа ₁ и ₂ называются доверительными границами, интервал (₁, ₂) — доверительным интервалом для параметра . Число  называется доверительной вероятностью или надежностью сделанной оценки.

Сначала задается надежность. Обычно ее выбирают равной 0.95, 0.99 или 0.999. Тогда вероятность того, что интересующий нас параметр попал в интервал (₁, ₂) достаточно высока. Число (₁ + ₂) / 2 – середина доверительного интервала – будет давать значение параметра  с точностью (₂ – ₁) / 2, которая представляет собой половину длины доверительного интервала.

Границы ₁ и ₂ определяются из выборочных данных и являются функциями от случайных величин x₁, x₂,..., x_n , а следовательно – сами случайные величины. Отсюда – доверительный интервал (₁, ₂) тоже случаен. Он может покрывать параметр  или нет. Именно в таком смысле нужно понимать случайное событие, заключающееся в том, что доверительный интервал покрывает число .