- •Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
- •Функциональные ряды. Точка сходимости ряда. Степенной ряд.
- •Мажорируемые и равномерно сходящиеся ряды.
- •Сходимость степенных рядов. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.
- •Определение радиуса сходимости степенного ряда. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Свойства степенных рядов.
- •Ряды Тейлора и Маклорена. Примеры (разложение в ряд Тейлора элементарных функций).
- •Метрическое пространство. Фундаментальная последовательность. Полное метрическое пространство.
- •Линейное пространство. Аксиомы линейного пространства. Нормированное пространство. Банаховы пространства.
- •Ряды Фурье. Разложение функции по произвольной ортогональной системе функций.
- •Тригонометрические ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
- •Комплексные числа и действия над ними.
- •Возведение в степень
- •Последовательности комплексных чисел. Сходимость последовательности комплексных чисел.
- •Функции комплексных переменных. Основные элементарные функции комплексного переменного.
- •Производная функции комплексного переменного. Условия Даламбера-Эйлера. Определение аналитической функции. Дифференциал. Производная элементарной функции.
- •Интегрирование функции комплексного переменного. Сведение интеграла к сумме криволинейных интегралов второго рода.
- •Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
- •Интегральная формула Коши. Ряды Тейлора и Лорана. Физический смысл аналитической функции.
- •Классификация особых точек аналитической функции. Вычисление вычета в полюсе. Теорема о вычетах.
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- •Закон радиоактивного распада.
- •Общий интеграл. Общее решение. Задача Коши. Теорема Коши о существовании и единственности решения.
- •Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
- •Метод вариации произвольной постоянной.
- •Уравнение в полных дифференциалах.
- •Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения n-того порядка. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского.
- •Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.
- •Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью.
- •Системы дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных. Теорема Коши. Метод исключения для решения систем дифференциальных уравнений.
- •Случайные события и их вероятности.
- •Операции над событиями. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности.
- •Свойства вероятности. Применение комбинаторики к вычислению вероятности.
- •Условные вероятности. Независимость событий.
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •Предельная теорема в схеме Бернулли. Формула Пуассона.
- •Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- •Системы случайных величин. Функции распределения системы случайных величин.
- •Плотности вероятности системы случайных величин. Условные законы распределения.
- •Математическое ожидание и дисперсия случайных величин.
- •Условное математическое ожидание. Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Свойства коэффициента корреляции.
- •Сходимость по вероятности. Второе неравенство Чебышева.
- •Правило трех сигм. Теорема Маркова.
- •Теорема Чебышева. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова).
- •Предмет математической статистики. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности.
- •Эмпирическая функция распределения. Числовые характеристики статистического распределения.
- •Статистическая оценка параметров. Несмещенная, эффективная и состоятельная оценки.
- •Теорема о выборочном среднем. Исправленная выборочная дисперсия.
- •Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.
- •Интервальное оценивание параметров. Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии.
- •Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.
- •Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии.
- •Проверка статистических гипотез. Критерий Колмогорова.
Проверка статистических гипотез. Критерий Колмогорова.
Процедуру сопоставления высказанного предположения с выборочными данными называется проверкой гипотезы.
Задача статистической проверки гипотез: указать правило, по которому следует, отклонить гипотезу или не отклонять. Статистическим методами можно отвергнуть или не отвергнуть, но не доказывать.
Статистическая гипотеза – гипотеза, проверяемая по выборке из генеральной совокупности.
Статистические гипотезы разбиваются на 2 класса:
Гипотезы о параметрах распределения определенного вида.
Гипотеза о виде неизвестного распределения.
Выделяют нулевую гипотезу , другая альтернативная , гипотезу однозначно фиксирующей распределение наблюдение называют простой, в ней идет речь об одном параметре, в противном случае сложной.
Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу называется статистическим критерием проверки .
По выборке из . - статистика критерия. В такой трактовке статистика критерия сама является случайной величиной с вероятностью
Основной принцип проверки гипотез.
Множество возможных разбивают на 2 не пересекаемых подмножества. Критическая область , т.е. область отклонения от гипотезы и .
- наблюдаемое попадает в , то принимается, а отклоняется.
Ошибка 1-ого рода состоит в том, что отвергается , когда она на самом деле верна.
Ошибка 2-ого рода состоит в том, что отвергается , когда она на самом деле верна.
Вероятность - ошибки 1-ого рода называется уровнем значимости критерия. - чем меньше тем меньше вероятность отклонить правильную гипотезу.
Вероятность - ошибки 2-ого рода. .
- мощность критерия.
Одновременное уменьшение ошибок 1- ого и 2-ого рода возможно при увеличении объема выборки.
Метод проверки гипотез:
Формирование гипотез и
Определение критической области.
Правосторонняя критическая область
Левосторонняя критическая область
Подсчитывается значение
Отвергается или подтверждается гипотеза
Критерий Колмогорова
Пусть - эмпирическая функция распределения, полученная на основании выборки . Теоретическая функция распределения .
статистика Колмогорова.
При закон распределения случайной величины -становиться универсальным.
Уже при
Найдем
- уровень значимости
при
Если , то гипотеза не отвергается.