- •Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
- •Функциональные ряды. Точка сходимости ряда. Степенной ряд.
- •Мажорируемые и равномерно сходящиеся ряды.
- •Сходимость степенных рядов. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.
- •Определение радиуса сходимости степенного ряда. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Свойства степенных рядов.
- •Ряды Тейлора и Маклорена. Примеры (разложение в ряд Тейлора элементарных функций).
- •Метрическое пространство. Фундаментальная последовательность. Полное метрическое пространство.
- •Линейное пространство. Аксиомы линейного пространства. Нормированное пространство. Банаховы пространства.
- •Ряды Фурье. Разложение функции по произвольной ортогональной системе функций.
- •Тригонометрические ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
- •Комплексные числа и действия над ними.
- •Возведение в степень
- •Последовательности комплексных чисел. Сходимость последовательности комплексных чисел.
- •Функции комплексных переменных. Основные элементарные функции комплексного переменного.
- •Производная функции комплексного переменного. Условия Даламбера-Эйлера. Определение аналитической функции. Дифференциал. Производная элементарной функции.
- •Интегрирование функции комплексного переменного. Сведение интеграла к сумме криволинейных интегралов второго рода.
- •Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
- •Интегральная формула Коши. Ряды Тейлора и Лорана. Физический смысл аналитической функции.
- •Классификация особых точек аналитической функции. Вычисление вычета в полюсе. Теорема о вычетах.
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- •Закон радиоактивного распада.
- •Общий интеграл. Общее решение. Задача Коши. Теорема Коши о существовании и единственности решения.
- •Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
- •Метод вариации произвольной постоянной.
- •Уравнение в полных дифференциалах.
- •Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения n-того порядка. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского.
- •Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.
- •Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений со специальной правой частью.
- •Системы дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных. Теорема Коши. Метод исключения для решения систем дифференциальных уравнений.
- •Случайные события и их вероятности.
- •Операции над событиями. Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности.
- •Свойства вероятности. Применение комбинаторики к вычислению вероятности.
- •Условные вероятности. Независимость событий.
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •Предельная теорема в схеме Бернулли. Формула Пуассона.
- •Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- •Системы случайных величин. Функции распределения системы случайных величин.
- •Плотности вероятности системы случайных величин. Условные законы распределения.
- •Математическое ожидание и дисперсия случайных величин.
- •Условное математическое ожидание. Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Свойства коэффициента корреляции.
- •Сходимость по вероятности. Второе неравенство Чебышева.
- •Правило трех сигм. Теорема Маркова.
- •Теорема Чебышева. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова).
- •Предмет математической статистики. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности.
- •Эмпирическая функция распределения. Числовые характеристики статистического распределения.
- •Статистическая оценка параметров. Несмещенная, эффективная и состоятельная оценки.
- •Теорема о выборочном среднем. Исправленная выборочная дисперсия.
- •Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.
- •Интервальное оценивание параметров. Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии.
- •Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.
- •Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии.
- •Проверка статистических гипотез. Критерий Колмогорова.
Ряды Тейлора и Маклорена. Примеры (разложение в ряд Тейлора элементарных функций).
Для любой Функции , определенной в окрестности т. и имеющей производные по порядка включительно, справедливо
, где , , ,
Если , то формула называется Маклорена.
Ряд Тейлора
Метрическое пространство. Фундаментальная последовательность. Полное метрическое пространство.
Метрическим пространством называется множество X, для элементов которого определено расстояние между ними.
Расстояние между элементами множества - однозначная, действительная, неотрицательная функция.
Последовательность - называется фундаментальной, если при и .
Если в пространстве X всякая фундаментальная последовательность сходиться, то это пространство называется полным. Примеры: - Чебышева.
Линейное пространство. Аксиомы линейного пространства. Нормированное пространство. Банаховы пространства.
Непустое множество элементов x, y, z называется линейным пространством , если для каждой пары x, y однозначно определено. . При этом должны выполняться аксиомы:
Коммутативность.
Ассоциативность.
Существование элемента 0.
Для каждого x существует (-x)
Для любого и .
Линейное пространство, в котором задана норма, называется нормированным.
Нормой в пространстве называется функционал удовлетворяющей следующим аксиомам:
Всякое нормированное пространство становится метрическим, если в нем ввести расстояние
Полное нормированное пространство называется Банаховым пространством.
Ряды Фурье. Разложение функции по произвольной ортогональной системе функций.
Введем скалярное произведение в пространстве Ф:
Норма в пространстве:
Расстояние между и :
Последовательность функций , ,… называется ортогональной, где , если .
1, , , , … ортогональны на
Пусть функция на представляется интегралом.
- сходиться на , а семейство - образуют ортогональных функций.
Ряд называется Фурье для совокупности ортогональных функций.
Тригонометрические ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
Тригонометрический ряд Фурье:
Для четных функций:
Для нечетных функций:
Комплексные числа и действия над ними.
Комплексные числа - расширение множества вещественных чисел, обозначаются через C. Любое комплексное число может быть представлено в виде , где x и y – вещественные числа, а I – мнимая единица i = -1. . Если действительная часть равно 0, то число чисто мнимое.
Геометрическое отображение комплексного числа:
,
,
.
Формы представления комплексных чисел:
Алгебраическая: . Значение аргумента комплексного числа на интервале называется главным значением.
Тригонометрическая: .
Операции над комплексными числами:
Сложение – складываются соответственно действительные и мнимые части комплексных чисел .
Разность – вычитаются .
Произведение - умножаются ,
Деление – делятся , где , .
Произведение комплексных чисел в показательной и тригонометрической форме осуществляется по принципу: модули перемножаются, а аргументы складываются .