VvedvmathZO2

Пример 1.6. Найти A\B, A[B, AnB для множеств A = f2; 1; 4g

è B = fb j b2 3b + 2 = 0g.

Решение. Сначала найдем элементы множества B. Решением квадратного уравнения b2 3b + 2 = 0 являются числа b1 = 1 è b2 = 2. Значит, B = f1; 2g. По определению, A \ B = f1; 2g,

A [ B = f1; 2; 4g, AnB = f4g.

1.2Числовые множества

Множества, элементами которых являются числа, называются

числовыми.

Примерами числовых множеств являются:

N = f1; 2; 3; : : : g множество натуральных чисел;

Z = f: : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : : g множество целых чисел;

множество действительных чисел.

Между этими множествами существуют соотношения

N Z Q R:

Заметим, что рациональные числа это конечные или бесконечные периодические десятичные дроби. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными. Иррациональные числа выражаются бесконечными непериодическими дробями. Таким образом, множество действительных чисел является объединением множеств рациональных и иррациональных чисел.

Пусть a и b действительные числа, причем a < b. Числовы-

ми промежутками называют подмножества множества действительных чисел, имеющих следующий вид:

11

[a; b] = fx j a x bg отрезок; (a; b) = fx j a < x < bg интервал;

[a; b) = fx j a x < bg, (a; b] = fx j a < x bg полуинтервалы; ( 1; b] = fx j x bg, ( 1; b) = fx j x < bg,

[a; +1) = fx j x ag, (a; +1) = fx j x > ag,

( 1; +1) = fx j 1 < x < +1g бесконечные интервалы. Пусть x0 произвольная точка на числовой прямой.

Определение 1.8. Интервал (x0 "; x0 +"), где " > 0, называется окрестностью (или " окрестностью) точки x0 и обозначается

U"(x0), ò.å. U"(x0) = fx j jx x0j < "g.

Равносильны следующие записи:

x 2 U"(x0) () x0 " < x < x0 + " () jx x0j < ":

Расширим числовую прямую, добавив две бесконечно удаленные точки: 1, +1. Их положение можно описать с помощью окрест-

ностей, определяемых следующим образом:

U( 1) = fx 2 R j x < Ng, U(+1) = fx 2 R j x > Ng,

где N сколь угодно большое положительное число.

Пример 1.7. Пусть A = [ 2; 2], B = ( 1; +1), C = (0; 3]. Найти

A [ C, A \ B, A [ B, (A [ B) \ C и изобразить эти множества на

координатной прямой.

Решение. Для наглядности изобразим множества A, B и C на числовой прямой.

12

Исходя из определения объединения и пересечения множеств, получаем:

A [ C = [ 2; 3], A \ B = ( 1; 2],

A [ B = [ 2; +1), (A [ B) \ C = (0; 3].

Изобразим полученные множества на числовой прямой:

Заметим, что (A [ B) \ C = C.

13

Комплексные числа

Пусть x, y действительные числа, i некоторый символ.

Определение 2.1. Комплексным числом z называется выражение вида z = x + yi.

Множество всех комплексных чисел будем обозначать через C. Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x = Re(z), y называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается y = Im(z).

Рассмотрим частные случаи. Пусть y = 0, тогда z = x+0 i = x отождествляется с действительным числом x. Поэтому множество

действительных чисел является подмножеством множества всех комплексных чисел, т.е. R C. Если же x = 0, то z = 0 + yi = yi

называется чисто мнимым числом.

Определение 2.2. Два комплексных числа z1 = x1 + y1i è

z2 = x2 + y2i называются равными (z1 = z2) тогда и только тогда, когда их действительные и мнимые части равны: x1 = x2,

y1 = y2.

Замечание. Отношения , <, , > для комплексных чисел не

определяются.

Определение 2.3. Два комплексных числа z = x+ yi и z = x yi,

отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Введем алгебраические операции на множестве комплексных чисел. Сложение è умножение комплексных чисел определяются так:

(x1 + y1i) + (x2 + y2i) = (x1 + x2) + (y1 + y2)i;

(x1 + y1i)(x2 + y2i) = (x1x2 y1y2) + (x1y2 + x2y1)i:

Поскольку i2 = (0+1 i)(0+1 i) = (0 0 1 1)+(0 1+0 1)i = 1, òî îïå-

рацию умножения комплексных чисел можно выполнять по обыч- ным правилам раскрытия скобок, используя равенство i2 = 1.

Число i называют мнимой единицей.

14

Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению. Таким образом, частным двух комплексных чи- сел z1 è z2 6= 0 называется комплексное число z, которое при умно-

жении на z2 дает число z1, ò.å. z2 z = z1.

Покажем как на практике выполняется операция деления. Сначала умножаем числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, а затем пользуемся определением операции умножения:

Решение. z1 + z2 = (3 + i) + ( 2 5i) = (3 2) + (1 5)i = 1 4i,

z1 z2 = (3 + i) ( 2 5i) = 3 + i + 2 + 5i = 5 + 6i,

z1 z2 = (3 + i)( 2 5i) = 6 2i 15i 5i2 = 6 17i + 5 = = 1 17i,

Пример 2.2. Вычислить ( 1 + i)(2 7i) + i21.

Решение. ( 1 + i)(2 7i) + i21 = 2 + 2i + 7i 7i2 + i i20 = = 2 + 9i + 7 + i(i2)10 = 5 + 9i + i( 1)10 = 5 + 9i + i = 5 + 10i.

Пример 2.3. Решить уравнения:

1)z2 10z + 74 = 0;

2)2z2 z + 10 = 0;

15

3) z2 + 16 = 0.

Решение.

1) Для уравнения z2 10z + 74 = 0, получаем, что

D = ( 10)2 4 1 74 = 100 296 = 196 = i2 142 = (14i)2;

z1 = 5 7i, z2 = 5 + 7i.

2) Заметим, что для уравнения 2z2 z + 10 = 0

D = ( 1)2 4 2 10 = 1 80 = 79 = i2 79;

3) Для уравнения z2 + 16 = 0 имеем:

z2 = 16; z2 = (4i)2;

z1 = 4i, z2 = 4i.

16

Функции одной действительной переменной

3.1Понятие функции. Способы задания функций

Определение 3.1. Пусть даны два непустых множества X и Y

(X; Y R). Правило (закон) f, которое каждому элементу x 2 X

сопоставляет один и только один элемент y 2 Y , называется

функцией одной действительной переменной , при этом пишут y = f(x), x 2 X или f : X ! Y .

Множество X называется областью определения функции f и обозначается D(f). Множество E(f) = fy 2 Y j y = f(x); x 2 Xg называется множеством значений функции f.

При этом x 2 X называют аргументом функции или независимой переменной, à y 2 Y значением функции в точке x èëè зависимой переменной. Если число a 2 D(f), то говорят, что функция f определена в точке a. Для того, чтобы указать значение функции f в фиксированной точке a, обычно используют одну из следующих записей: f(a), y(a), f(x)jx=a.

Замечание. Множества значений для разных функций находятся разными способами.

Пример 3.1. Найти область определения функции

2x + 3 y = x2 9 .

Решение. Для того, чтобы найти область определения функции необходимо определить все значения переменной x, при ко-

торых формула, задающая функцию, имеет смысл. Для функ-

2x + 3

öèè y = x2 9 областью определения является множество тех

значений аргумента, для которых знаменатель дроби не обращается в нуль, т. е. x2 9 6= 0, x2 6= 9, x 6= 3. Следовательно,

D(f) = ( 1; 3) [ ( 3; 3) [ (3; +1).

17

1 + x2 f(x) = 1 x2 .

Решение. Подставляя значение x = 0 в формулу для данной

надо формально заменить x в формуле для данной функции на

Определение 3.2. Графиком функции f(x), определенной на

множестве X R, называется множество точек плоскости,

для каждой из которых абсцисса является значением аргумента, а ордината соответствующим значением функции, т. е. множество точек на координатной плоскости Oxy:

Gf = f(x; y) j y = f(x); x 2 Xg.

Наиболее часто встречаются три аналитический, табличный и графический.

с помощью одной или нескольких формул устанавливается алгоритм вычисления значений для каждого из значений аргумента.

18

Пример 3.3. 1) V (R) = 4 R3 ;

3

3) f(x) = x3 + cos x.

Аналитический способ является наиболее совершенным, так как к нему можно применять методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию.

функция задается таблицей ряда значе- ний аргумента и соответствующих значений функции:

На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.

функция задается графиком. Преимуществом графического задания функции является его наглядность, недостатком его неточность.

3.2Основные свойства функций

Определение 3.3. Пусть область определения D(f) симметрич- на относительно нуля: 8x 2 D(f) верно x 2 D(f). Функция f(x) называется ÷¼òíîé, если 8x 2 D(f) выполняется равенство f( x) = f(x) и íå÷¼òíîé, åñëè 8x 2 D(f), f( x) = f(x).

График ч¼тной функции симметричен относительно оси Oy, а график неч¼тной функции относительно начала координат.

19

Пример 3.5. Исследовать функции на ч¼тность, неч¼тность:

1) y = x4 4jxj;

x3

2) y = x2 1;

1

3) y = x 1.

Решение.

1)Областью определения функции y = x4 4jxj является множество D(f) = R, которое симметрично относительно нуля. Поскольку

f( x) = ( x)4 4j xj = x4 4jxj = f(x);

функция y = x4 4jxj является ч¼тной. График этой функции симметричен относительно оси Oy.

x3

2) Областью определения функции y = x2 1 является множество

D(f) = (1; 1) [ ( 1; 1) [ (1; +1) ;

которое симметрично относительно нуля. Так как

20