Решение

На лыжника действуют силы: mg –сила тяжести, N – сила реакции трамплина, F_тр - сила трения, равная F_тр=μN.

Выберем прямоугольную систему координат, при которой ось У направлена вертикально вверх, а ось Х – по направлению силы трения F_тр.

Динамическое уравнение в векторном виде для нижней точки трамплина А имеет вид N + mg + F_тр = ma, где a – полное ускорение лыжника в данной точке.

В проекциях на вертикальную ось, перпендикулярную скорости движения, динамическое уравнение имеет вид N - mg = ma_n или N - mg = ; отсюда N = mg + .

В проекциях на горизонтальную ось, параллельную скорости движения, F_тр= ma_τ. Здесь a_τ – тангенциальное ускорение лыжника, которое и нужно определить: a_τ = , а так как

F_тр=μN = μ(mg + ) = μm(g + ), то a_τ =μ (g + ) = 0,7 м/с².

Ответ: a_τ = 0,7 м/с².

З адача 8. Определить значение первой космической скорости для шарообразной планеты, масса которой М, а радиус R.

Решение

Тело, которому сообщена I космическая скорость, вращается вокруг планеты по круговой орбите, радиус которой больше радиуса планеты на величину h <<R. С такой скоростью движутся искусственные спутники планеты.

На спутник действует только сила тяготения F_т= G , где m – масса спутника, (R+h) – расстояние между центрами масс планеты и спутника. Эта сила, перпендикулярная к скорости движения спутника, сообщает ему нормальное ускорение F_т = ma_n или F_т = m . Отсюда G = m ; . Так как h <<R, можно записать

. Это и есть первая космическая скорость для данной планеты.

Примечание. Так как ускорение свободного падения на шарообразной планете зависит от ее массы и радиуса как g = G , то при известном значении ускорения свободного падения для планеты g I космическая скорость может быть вычислена как = , здесь R – радиус планеты.

Задача 9 (из комплекта задач ЕГЭ, часть C). Два искусственных спутника Земли движутся в одном направ­лении по круговым орбитам, лежащим в одной плоскости, со скоростями 7,8 км/с и 7,6 км/с. Определите минимальное расстоя­ние между спутниками и промежуток времени, через который они вновь будут находиться на этом же расстоянии.

Решение

На каждый спутник действует сила тяго­тения со стороны Земли, которая и сообщает ему нормальное ускорение: ; . Отсюда, учитывая что g = G есть извест­ное ускорение свободного падения на поверх­ности Земли, заменим GM = gR² (R = 6400 км - радиус Земли, g = 9,8 м/с²). Тогда радиус орбиты первого спутника R₁= , радиус орбиты второго спутника R₂ = . Минимальное расстояние между спутниками равно разности радиусов их орбит: R₂ - R₁= 352 км. Так как длина орбиты одного спутника больше длины орбиты другого спутника на величину ΔL =2π(R₂-R₁), то для ее преодоления спутникам понадобится промежуток времени, равный Δt = ≈ 3,07 часа.

Ответ: Δ R_min=352 км; Δt ≈ 3,07 часа.

З адача 10 (из комплекта задач ЕГЭ, часть C). Определите объем планеты, масса которой M=6·10²⁴ кг, период вращения вокруг собственной оси равен Т=3·10⁴ с, а вес тела на ее экваторе составляет 97 % от веса этого тела на полюсе. Планету считать однородным шаром.

Решение

В силу вращения планеты вокруг своей оси вес тела на полюсе отличается от веса этого же тела на экваторе. Напомним, что вес покоящегося тела на поверхности планеты численно равен силе тяжести mg. На полюсе радиус вращения тела вокруг оси равен 0, значит, сила тяготения сообщает телу только ускорение свободного падения g_п, то есть вес тела Р_п= F_т = mg_п= mg.

На экваторе тело отстоит от оси вращения на величину радиуса планеты и вращается вместе с планетой с угловой скоростью ω. Поэтому сила тяготения выполняет двоякую функцию: сообщает телу ускорение g_э, направленное к центру планеты, и нормальное ускорение а_n (в силу перпендикулярности скорости движения тела), направленное также по радиусу к центру планеты (рис. 11). То есть F_т= mg_э+ m а_n, где а_n = ω²R, тогда Р_э= mg_э= F_т - mω²R.

А так как Р_э= 0,97F_т по условию, то получаем уравнение 0,97F_т = F_т - mω²R или, сократив на m, 0,03G = . Масса планеты равна М = ρV= ρ · πR³, где ρ - плотность планеты, а объем V= πR³. Получаем G =G = G ; тогда 0,03G = , или, после сокращения на 3R и 4π, 0,01Gρ = , откуда ρ =100 . Тогда V = =1,15·10²¹ м³.

Задача 11. Сколько суток было бы в году, если бы Земля вращалась вокруг сво­ей оси с такой угловой скоростью, что вес тел на экваторе был бы равен нулю?

Решение

Вес тела на экваторе равен 0, значит, F_т - mω²R = 0, или mg = mω²R (см задачу 10). Так как , получаем g = и T = = 6,28 ≈ 5·10³ с, т. е. время новых суток Т ≈ 5·10³ с, в обычных сутках T_о = 3600 с ·24 =8,6 ·10⁴ с. Значит, сутки со­кратятся в n = Т₀/Т = 17 раз, а число дней в году увеличилось бы до вели­чины n·365 = 17·365 ≈ 6 200 дней.

Задача 12 (из комплекта задач ЕГЭ, часть C). Определите вес тела на экваторе планеты, если на полюсе это тело весит 100 Н. Плотность вещества планеты 5200 кг/м³, период ее вращения вокруг собственной оси 3·10⁴ с. Планету считать однородным шаром.

Решение

Основываясь на рассуждениях, приведенных в решении задачи 10, запишем выражения для веса тела на полюсе :

Р_п = mg, где g – ускорение свободного падения на планете, равное g = G = G =G ,

и на экваторе Р_э= F_т - mω²R или Р_э = Р_п - ω²R = Р_п(1 - ). Так как , получаем

Р_э = Р_п(1 - ) = Р_п (1- ) = 97 Н.

Ответ: вес тела на экваторе неизвестной планеты 97 Н.

Задача 13. Под каким углом должен наклониться велосипедист, чтобы пройти закругление дороги радиусом r =100 м на скорости v= 20 м/с?

Р ешение

На велосипедиста действуют: сила тяжести mg; направленная вертикально вниз, и сила реакции опоры N, направленная вдоль корпуса велосипедиста под углом  к горизонту (рис. 12).

Выберем систему координат X и Y, направив ось Х горизонтально к центру вращения, а ось Y – вертикально вверх.

Составим динамические уравнения относительно осей Х и У. При этом помним, что вдоль оси Y ускорение отсутствует. В горизонтальной же плоскости скорость велосипедиста изменяется по направлению, то есть в наличии нормальное ускорение.

N Sin  - mg = 0, отсюда N Sin  = mg;

N Cos  = m a_n, отсюда N Cos  = m .

Разделив левую часть уравнения N Sin  = mg на левую часть уравнения N Cos  = m и соответственно – правую часть первого уравнения на правую часть второго, получаем

tg  = g ; tg  = 2,45;  = 68⁰.

Ответ: велосипедист должен наклониться под углом 68⁰ к горизонту.

Примечание. Обратите внимание на способ решения данной системы двух уравнений – почленное деление одного уравнения на другое. Применение его довольно часто упрощает математические вычисления.

Задача 14. На сколько должен быть поднят наружный рельс над внутренним на повороте железнодорожного полотна радиусом r= 300 м при ширине колеи d=1,5 м, если колея рассчитана на скорость v=72 км/ч?

Решение

П ри малых значениях силы трения поворот осуществляется за счет угла наклона силы реакции опоры к горизонтальной плоскости.

Для этой цепи наклон сообщают полотну дороги или железнодорожной колее (рис. 13).

Составляем динамические уравнения относительно выбранной и указанной на рисунке системы отсчета:

N Cos  - mg = 0, N Cos  - mg;

N Sin  = m a_n , N Sin  = m .

Почленным делением одного уравнения на другое находим

Ctg  = , Ctg  = 7,4;  = 8 ^о.

Из  АВС находим h = d Sin , h= 19,5 см.

Ответ высота подъема наружного рельса составляет 19,5 см.

З адача 15. Шарик, подвешенный на нити длиной L= 1 м, вращают в горизонтальной плоскости так, что нить образует с вертикалью угол =30⁰ (конический маятник). Определить угловую скорость  и частоту вращения шарика n.

Примечание. Коническим маятником называют небольшое тело, прикреп­ленное к нити и движущееся по окруж­ности в горизонтальной плоскости с постоянной скоростью.

Решение

На шарик действуют силы: mg - сила тяжести; Т – сила натяжения нити (рис. 14)

По методике, предложенной в задачах № 13 и 14, выбираем систему координат и составляем динамические уравнения относительно каждой из осей: на ось У : Т Cos - mg = 0, Т Cos  = mg;

на ось Х : Т Sin  = ma_n, Т Sin  = m ²r.

Так как радиус вращения шарика равен r = L Sin , то получаем ТSin = m ²LSin, Т=m ²L.

Итак, получили два уравнения: Т Cos  = mg,

Т = m ² L.

Разделив левую часть одного уравнения на левую часть другого уравнения и соответственно – правую часть первого уравнения на правую часть второго, получаем Cos  = . Отсюда получаем  = . Подставив данные величины, получаем  = 3,4 с^-1. Частота вращения равна n = об/с; n = 0,54 об/с = 32,4 об/мин.

Ответ: угловая скорость вращения 3,4 с^-1, что соответствует частоте вращения 32,4 об/мин.