2. Динамика вращательного движения

2.1. По второму закону Ньютона, F = ma, ускорение появляется только в том случае, если равнодействующая всех сил, действующих на точку, отлична от нуля.

Обратимся еще раз к понятию ускорения. Модуль скорости изменяется только в случае, если равнодействующая сила направлена параллельно вектору скорости. Иными словами, сила, параллельная вектору скорости, сообщает телу тангенциальное ускорение, F_׀׀= ma_τ.

Направление скорости может изменить сила, перпендикулярная вектору скорости. То есть,

сила, перпендикулярная вектору скорости, сообщает телу нормальное ускорение, F_= ma_n.

Поскольку при равномерном движе­нии по окружности а_ = 0, значит, полное ускорение тела а есть ускорение нормальное а_n. Направлено оно к центру вращения (окруж­ности), поэтому при равномерном движе­нии точки по окружности нормальное ускорение называют еще центростремительным.

2.2. При неравномерном движении по ок­ружности вектор ускорения а не на­правлен к центру вращения и его удобно разложить на две составляющие – нормальное и тангенциальное ускорение. Модуль нормального ускорения в любой момент времени можно найти по формуле , где v и ω — линейная и угловая скорости в этот момент. Из рисунка 2 видно, что при неравномерном движении по окружнос­ти проекция ускорения а на ось X, направленную вдоль радиуса к центру вращения, всегда равна а_n. На этом основано решение многих задач на не­равномерное движение по окружности.

2.3. Очень большие трудности у учащихся вызывают задачи, в которых рассматривается движение тела под действием нескольких сил, не всегда направленных вдоль одной оси. В этом случае можно посоветовать не отходить от принятой схемы расчета:

1. Выявление всех сил, действующих на тело.

2. Обязательное изображение всех этих сил на рисунке.

3. Выбор удобной для расчета системы координат.

4. Составление динамических уравнений (вначале в векторном виде, а затем в проекциях на выбранные координатные оси).

5. Сила, параллельная вектору скорости, сообщает телу тангенциальное ускорение. Сила, перпендикулярная вектору скорости, сообщает телу нормальное ускорение: F_׀׀= ma_τ, F_= ma_n.

3. Примеры решения задач

Задача 1. При какой скорости автомобиль "не занесет" на повороте горизонтальной дороги радиусом r = 100 м, если коэффициент трения между колесами и дорогой равен  = 0,1?

Решение

Н а автомобиль действует сила тяжести mg; сила реакции опоры N и сила трения F_тр, направленная перпендикулярно скорости к центру окружности (рис.3).

Выберем систему координат так, чтобы одна из осей (например, Х) была направлена в плоскости движения к центру вращения. Тогда вторая ось Y, перпендикулярная оси Х, будет направлена вертикально (вверх или вниз – значения не имеет). Направим ось Y вниз.

Запишем динамическое уравнение в векторном виде

mg + N+ F_тр= ma и в проекциях на координатные оси:

на ось Y: mg - N = 0, так как вдоль оси Y ускорение равно 0; отсюда N = mg ; F_тр= N = mg;

на ось Х: F_тр = ma_n, действующая вдоль этой оси сила трения перпендикулярна скорости F_трv, поэтому она сообщает автомобилю нормальное (центростремительное) ускорение a_n = v²/r.

Получаем mg = mv²/r, откуда находим значение скорости v = =10 м/с = 36 км/ч. (ускорение свободного падения принимаем равным 10 м/с² ).

Ответ: скорость автомобиля не должна превышать 10 м/с, что соответствует 36 км/ч.

Задача 2. При каком числе оборотов в минуту тело, лежащее на горизонтальной вращающейся платформе на расстоянии r = 5 м от ее центра, не удержится на ней при коэффициенте трения между телом и платформой  = 0,1?

Решение

На тело действует сила тяжести mg; сила реакции опоры N и сила трения F_тр, направленная перпендикулярно скорости к центру вращения платформы (рис.3).

Выберем систему двух взаимно перпендикулярных координат Х и Y, направив их по принципу, обусловленному в предыдущей задаче. Динамическое уравнение имеет вид: mg+N+F_тр = ma_. Запишем его в проекциях на координатные оси.

На ось Y: mg-N=0, так как вдоль оси Y ускорение равно 0; отсюда N= mg ; F_тр= N = mg.

На ось Х: F_тр = ma_n, так как действующая вдоль этой оси сила трения перпендикулярна скорости, и, значит, сообщает телу нормальное ускорение a_n = ²_минr . Здесь удобен именно этот вариант формулы нормального ускорения, так как искомая величина может быть выражена через угловую скорость n_мин= /2 (заметьте, что значение частоты вращения n получается в этом случае в оборотах в секунду). Итак, mg = m²_минr, g = 4²n² _минr, . Подставляя данные величины, получаем n ≥ 0,45 об/с = 4,2 об/ мин.

Ответ: тело не удержится на платформе при частоте вращения большей, чем 4,2 об/мин.

З адача 3. С какой угловой скоростью  должна вращаться горизонтальная центрифуга, чтобы космонавт испытывал 8-кратную перегрузку, если радиус центрифуги r = 5 м?

Решение

Перегрузкой называют число, равное отношению реакции опоры, действующей на тело (в данном случае, на космонавта), к силе тяжести его. Значит, N = 8 mg.

Рассмотрим силы, действующие на космонавта в горизонтально-вертикальной системе координат ХОУ. В вертикальном направлении сила тяжести mg уравновешивается силой реакции горизонтальной опоры R (рис.4), mg = R.

Сила реакции опоры N (в данной задаче опорой является вертикальная стенка центрифуги) направлена горизонтально к центру вращения. Значит, в направлении оси Х единственная сила реакции опоры N, перпендикулярная скорости движения, сообщает космонавту нормальное ускорение: N = ma_n = m²r. 8 mg = m ²r, отсюда  = ;  = 4 с^-1.