Ответ: угловая скорость центрифуги должна быть равна 4 с-1.

Задача 4. На нити длиной l = 0,5 м вращают в вертикальной плоскости грузик массой m = 0,1 кг. При какой угловой скорости  грузик пройдет "мертвую" точку? Чему равно максимальное удлинение нити l при таком вращении, если коэффициент упругости ее равен k =10 Н/см?

Решение

В точке 1 (рис. 5) на грузик действуют: сила тяжести mg и сила натяжения нити Т, направленная вдоль нити от тела, т.е. вертикально вниз.

Направим ось Y к центру вращения, то есть вертикально вниз. Динамическое уравнение имеет вид Т + mg = ma_n (так как эти силы перпендикулярны к направлению движения грузика).

Грузик пройдет точку 1 ("мертвую" точку) при условии Т  0. Отсюда получаем, что при крайнем условии, то есть если T=0, mg = m²_мин l,  _мин = ; _мин = 4,4 рад/с.   4,4 рад/с.

Наибольшее значение сила натяжения имеет в точке 2. Направим ось Y к центру вращения, то есть вертикально вверх. Обозначим Q - силу натяжения нити, направлена эта сила вдоль нити от тела, то есть тоже вертикально вверх. Тогда для точки 2 динамическое уравнение имеет вид:

Q – mg = ma_n. Q = m(g+²l ); Q = 0,1(9,8 + 4,4²0,5) = 2Н.

По закону Гука Q = -k l. Значит, l = = 0,2 см = 2 мм.

Знак "минус" показывает, что сила упругости нити направлена против ее деформации – удлинения.

Ответ: угловая скорость грузика равна 4,4 рад/с, удлинение нити в нижней точке траектории составляет 2 мм.

Задача 5. Определить вес автомобиля массой m =1 т в верхней точке выпуклого моста радиусом r =100 м, если скорость автомобиля v = 72 км/ч.

Решение

В верхней точке выпуклого моста на автомобиль действуют силы (рис. 5): mg - сила тяжести, Q - сила реакции опоры моста.

Вес автомобиля численно равен силе реакции опоры, но приложен к опоре, то есть к мосту. Направлен вес в сторону, противоположную силе реакции моста Q.

Направим ось Y к центру траектории по направлению нормального ускорения. Так как действующие на автомобиль силы перпендикулярны скорости движения, то динамическое уравнение относительно этой оси имеет вид mg – Q = ma_n, где a_n= ; Q = m(g - ).

Так как v = 72 км/ч = 20 м/с, P = Q  6 кН. Обратите внимание, что вес автомобиля на выпуклом мосту меньше силы тяжести его. Причем, чем больше скорость, тем меньше становится вес (сила давления автомобиля на мост).

Ответ: вес автомобиля в верхней точке выпуклого моста равен  6 кН. В этой точке вес меньше силы тяжести.

Задача 6. Определить вес автомобиля массой m =1т в нижней точке вогнутого моста радиусом r = 100 м, если скорость автомобиля v = 72 км/ч.

Решение

В нижней точке вогнутого моста на автомобиль действуют силы (рис. 7): mg - сила тяжести, Q - сила реакции опоры моста.

Направим ось Y вертикально вверх к центру траектории по направлению нормального ускорения.

Так как действующие на автомобиль силы перпендикулярны скорости движения, то динамическое уравнение относительно этой оси имеет вид -mg + Q = ma_n, где a_n= . Отсюда Q = m(g + ); P = Q 14 кН. Обратите внимание, что вес автомобиля на вогнутом мосту больше силы тяжести его. Причем, чем больше скорость, тем больше становится вес (сила давления автомобиля на мост)

Ответ: вес автомобиля в нижней точке вогнутого моста равен 14 кН. В этой точке вес больше силы тяжести.

Задача 7 (из комплекта задач ЕГЭ, часть C). Определите горизонтальное ускорение лыжника, спускающегося с трамплина (вогнутая поверхность с радиусом кривизны R=100 м), в низшей точке А трамплина (рис.8), если его скорость в этой точке v = 72 км/ч, а коэффициент трения μ = 0,05.