2 Идентификация параметров установки и установление адекватности моделей

1.Идентификация математического описания объекта является основным этапом в построении адекватной математической модели процесса и поэтому представляет собой одну из центральных задач математического моделирования химико-технологических процессов. Большинство таких процессов представляет собой многофазную многокомпонентную среду, распределенную в пространстве и во времени.

Большинство моделей химико-технологических процессов нелинейны по параметрам, что создает значительные трудности при решении задач их идентификации. Поэтому часто идентификацию нелинейных моделей проводят либо с помощью приближенных оценок, либо путем линеаризации исходной модели химико-технологического процесса.

Так как наряду с оценкой неизвестных параметров задача идентификации подразумевает сравнение рассчитываемых по модели переменных состояния химико-технологического процесса с наблюдаемыми (экспериментальными) значениями, то рассматриваются и методы установления соответствия (адекватности) модели реальному объекту.

2.Статистическое оценивание числовых характеристик случайных процессов

Статистикой (выборочной характеристикой) называют функцию, зависящую только от результатов наблюдения х1, х2 х:

Отсюда следует, что статистика представляет собой случайную величину с законом распределения, определяемым функцией правдоподобия, а следовательно, и законом распределения случайной величины.

Характеристической функцией случайной величины Х называют математическое ожидание случайной функции от аргумента , т.е.

где — произвольное действительное число.

Теория статистического оценивания рассматривает два основных вида оценок: точечные и интервальные.

Точечной оценкой называют некоторую функцию результатов наблюдения Q (х1, х2,.., хп), значение которой в данных условиях принимается за наибольшее приближение к значению параметра Q генеральной совокупности.

Однако при выборке небольшого объема точечная оценка Q может существенно отличаться от истинного значения параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. Поэтому в случае малой выборки часто используют интервальные оценки.

Интервальной оценкой называют числовой интервал (07, 07),определяемый по результатам выборки, относительно которого можно утверждать с определенной, близкой к единице, вероятностью, что он содержит значение оцениваемого параметра генеральной совокупности.

3. Применение методов наименьших квадратов и максимального правдоподобия для нахождения точечных оценок параметров. Построенные с помощью экспериментального либо экспериментально-аналитического метода математические модели содержат неизвестные константы (параметры), значения которых определяются по экспериментальным данным. Если используемые модели линейны относительно искомых параметров, то задача их оценки сравнительно легко решается методами линейного регрессионного анализа и, в частности, методом наименьших квадратов.

Оценка неизвестных параметров в методе наименьших квадратов производится с помощью минимизации суммы квадратов рассогласований. Такой подход во многих важных ситуациях приводит к оценкам, обладающим важными свойствами оптимальности. Существуют точечная оценка искомых параметров моделей, полученных методом максимального правдоподобия. Последние, хотя и обладают некоторыми оптимальными асимптотическими свойствами, но не обеспечивают важную дополнительную информацию о точности определяемых оценок и о мере нелинейности модели, особенно в малых выборках. Такую информацию содержат характеристики доверительных областей.

Доверительный интервал (доверительная область) для некоторого параметра (совокупности параметров) функции распределения есть интервал (область) в параметрическом пространстве, определяемый достаточной статистикой выборки измеренных величин и обладающий тем свойством, что вероятность того, что он содержит “истинное” значение параметра, равна по крайней мере наперед заданному значению а. Величину а называют доверительным уровнем.

4.Критерии адекватности моделей. Математическая модель объекта является лишь его определенным в рамках принятых допущений аналогом. Поэтому значения переменных, получаемые на модели и объекте, различаются. Здесь возникает задача установления близости модели реальному объекту (установления адекватности модели). Прежде чем приступить к проверке и установлению адекватности, необходимо выработать критерий, который позволил бы сделать заключение о соответствии модели и объекта. Они базируются в основном на методах дисперсионного анализа и анализа остатков.

Дисперсионный анализ моделей используется для сравнения величин остатков с величинами, характеризующими ошибку измерений. Используя такое сравнение, исследователь способен установить как общую адекватность модели, так и способы ее дальнейшего упрощения с помощью выбрасывания из модели незначимых членов.

Для этого вычисляют величины сумм квадратов,

характеризующие соответственно разброс экспериментальных данных и разброс рассчитанных по модели значений отклика. Разности — называемые остатками, представляют собой меру неспособности модели точно описать экспериментальные данные. Очевидно, что если испытываемая модель истинна, то остатки фактически есть оценки экспериментальной ошибки измерений. Поэтому общая мера несоответствия модели результатам эксперимента представляется в виде

В статистике величина SS(1) называется общей суммой квадратов;

SS(2) суммой квадратов, обусловленной регрессией, и SS(3) — остаточной суммой квадратов.

На основании метода наименьших квадратов можно показать, что для перечисленных сумм справедливо следующее равенство:

Адекватность модели может определяться отношением дисперсии адекватности модели к дисперсии воспроизводимости (F-статистика). Если это отношение велико (по крайней мере существенно больше единицы), то имеются достаточно веские доводы в пользу того, что испытываемая модель не отражает результаты эксперимента.

Если модель правильно отражает свойства объекта, то расхождения между экспериментальными значениями и соответствующими значениями, вычисленными по модели, можно рассматривать как случайные величины, Тогда установление адекватности можно проводить с помощью проверки некоторых статистических гипотез. Под статистическими гипотезами понимают некоторые предположения относительно распределений генеральной совокупности случайной величины. Проверка гипотезы заключается в сопоставлении статистических показателей, критериев проверки, вычисляемых по выборке, со значениями этих показателей, определенными в предположения, что проверяемая гипотеза верна. Чтобы принять или отвергнуть гипотезу, задают уровень значимости р (обычно от 0,1 до 5 %), который определяет вероятность того, что верная гипотеза будет отвергнута на основании анализа выборки.

В случае однооткликовых моделей адекватность может быть проверен с помощью

где — соответственно дисперсия адекватности и дисперсия воспроизводимости, определяемые

5.Анализ значимости отдельных составляющих модели. Необходимо проведение более детального анализа составляющих модели. Для этого дополнительно разлагают суммы квадратов, обусловленных регрессией, на ряд составляющих. При этом обычно для простоты сначала вычисляют суммы квадратов, обусловленные общей регрессионной моделью и упрощенной моделью с выброшенными одним или группой членов. Разность между этими двумя суммами квадратов представляет собой сумму квадратов, характеризующую влияние испытываемого компонента модели. Так как известно, что для адекватных моделей средний квадрат остатков характеризует дисперсию воспроизводимости, то выполняется условие:

где SS(6) - средний квадрат, обусловленный испытываемом компонентом модели, а SS(5) - средний квадрат остатков, определяющий значимость испытываемого компонента модели. Очевидно, что такие испытания надо проводить для всех членов (компонентов) математической модели.

Отметим, что результаты дисперсионного анализа позволяют сделать вывод лишь об общей пригодности модели или значимости ее отдельных членов. Тем не менее неадекватность последней может иметь место, даже если критерия типа Фишера указывают на соответствие модели экспериментальным данным. Поэтому требуется проведение более детального испытания моделей, которые осуществляют с помощью методов анализа остатков. Анализ отсутствия в остатках неслучайных составляющих производят с помощью построения и изучения графической зависимости остатков от предсказанных значений откликов, что дает возможностъ установить соответствие модели экспериментальным данным.

Анализ графической зависимости остатков от рассчитанных по модели значений откликов позволяет также получить дополнительную информацию о соблюдении ряда исходных статистических посылок относительно характеристики ошибок измерений.

Процедура установления адекватности многооткликовых моделей значительно сложнее и требует использования значительной по объему экспериментальной информации.