Глава 3

Принцип максимума свободы в биологии.

3. 1.

Построение математической модели численности популяций.

3.1.1. Существующие модели численности популяций

На сегодняшний день в биологии изменение численности популяций описываются двумя классами математической моделей, которые не только никак не связаны друг с другом, но и являются эмпирическими, т.е. для построения этих моделей проводилось большое количество экспериментов, и на основе их результатов строились модели. Рассмотрим эти модели более подробно.

1. Модели, описывающие рост одной популяции.

   0. Первая модель – J-образная кривая

( 3.1.1)

где X – численность популяции, a – постоянная.

Данная модель описывает скорость роста одной популяции и хорошо согласуется с экспериментом на начальных стадиях при малых значениях времени. Решение уравнения (1) дает

г де С₀ =Х₀ - размер популяции в момент времени t=0.

1.2. Вторая модель S- образная кривая

( 3.1.2)

Данная модель более точно описывает движение системы, с ее помощью можно даже получить кривые, характерные не только для биологических, но и экономических систем. Непонятно только, как она связана с первой моделью и откуда получено выражение, стоящее в правой части и независящее явно от Х. Это просто хорошая эмпирическая модель без каких-либо теорий.

2. Модель, описывающая взаимодействие типа «хищник – жертва».

   0. Модель Лотки-Вольтерра

(3.1.3)

г де

Х₁, Х₂ - численность популяций «жертвы» и «хищника»;

a,b,c,d, α - константы, характеризующие систему. Тоже очень неплохая модель, но где же ее связь с предыдущими математическими моделями и каков физический смысл постоянных?

(3.1.4)

0. Модель колебаний численности популяций с постоянной амплитудой

где

Х₁, Х₂ - численность популяций «жертвы» и «хищника»;

r,k,w,D,S,J - константы, характеризующие систему.

Как видим, у биологов нет единой теории, и следовательно, единой математической модели, которая бы была применима для описания реальных процессов, происходящих в живых системах, что мы и попытаемся исправить.

3.1.2.

Теория изменения численности популяций: метод информационного пространства.

Для построения математической модели, описывающей изменение численности популяций во времени, нам для начала необходимо задать пространство, в котором это движение происходит. Очевидно, что это пока неизведанное пространство будет отличаться от привычного нам четырехмерного физического пространства. Действительно, нас абсолютно не волнует, в какой точке физического континуума находится интересующий нас биологический или социальный объект. Поэтому нам необходимо ввести какие-то параметры, отличные от физических координат объекта, с помощью которых мы могли бы охарактеризовать данный объект. И эти параметры должны подходить как для описания движения биологических систем, таких как популяция или биологический организм, но и для описания движения социальных систем, таких, как человек, государство, предприятие. Это требование вытекает из условия общности физических законов, действующих в разных подсистемах одной глобальной системы. Очевидно, что количество особей или каких-либо других объектов на единицу площади не подходит под это условие, так как при этом выполнялось бы идентичность разных стран с одинаковой плотностью населения, чего мы не наблюдаем в действительности. Так, в Украине и Польше приблизительно равная плотность населения, но разве они идентичны?

На наш взгляд, единственный параметр, с помощью которого можно охарактеризовать как всю систему, так и состояние ее отдельных подсистем, является ее информативность. Т.е., предлагается в качестве обобщенных координат, характеризующих систему, брать логарифм от плотности вероятности того , что система в определенных моментах времени занимает определенное положение. Для разных подсистем имеем:

(3.1.5)

где

q_i – обобщенная координата,

P_i – вероятность нахождения системы в определенном состоянии.

Таким образом, выбранные нами обобщенные координаты показывают отличие одного объекта от остальных. Т.е., если у вас есть банкнота с двумя нулями, то ее покупательная способность определяется не цветом, не размером, а количеством таких же банкнот у остальных людей.

Таким образом, для характеристики системы надо знать обобщенную координату q=q(t), а также соотношение между вероятностью Р и каким либо интересующим нас параметром. Так как нас чаще всего интересует количество каких-либо объектов в определенном классе (количество особей в популяции, количество денег в кармане, количество членов в партии), то логичнее всего принять

(3.1.6)

где

V_i – скорость прироста количества объектов в заданном классе;

α_i⁺(t) - количество объектов, которые могут поступить в интересующую нас подсистему;

P_i⁺(t) - плотность вероятность этого поступления;

α_i^- (t) - количество объектов, которые могут покинуть интересующую нас подсистему;

- плотность вероятность этого события;

Более наглядно зависимость (6) может быть представлена следующим рисунком

………………..

Пусть есть большой ящик с песком, в котором проделаны N отверстий. Песок из ящика высыпается в отверстия и попадает в N подсистем, из которых в свою очередь высыпается дальше, вниз, в подсистемы второго уровня. Очевидно, что изменение количества песка в і-той подсистеме прямо пропорционально тому количеству песка, который поступает из ящика, за вычетом того количества песка, которое высыпается вниз. Данная система будет описываться зависимостью (6), причем в этом случае вероятности прямо пропорциональны ширине воронок на входе и выходе і-той подсистемы, которая связана с обобщенными координатами соотношения (5). Таким образом, зная P_i(t), мы можем, используя зависимость (6), определить количество интересующих нас объектов в і-той подсистеме. Значит, все упирается в определении обобщенных координатах данной системы. Для их определения предлагается использовать экстремальные принципы, распространенный на информационное пространство. В математическом виде это будет выглядеть так:

(3.1.7)

Мы исходим из того, что все уравнения динамики, квантовой механики, электродинамики получается из подобных условий. Так может быть, данные условия действуют и в информационном пространстве? Давайте посмотрим, что у нас из этого получится. Рассмотрим простейший случай

(3.1.8.)

Тогда выражение(7) перепишется в виде:

(3.1.9)

Используя известные методы нахождения экстремума функционала, получаем следующую систему уравнений:

(3.1.10)

Так как

(3.1.11)

То, приводя подобные слагаемые, получим

(3.1.12)

От сюда, интегрируя, получим

(3.4.13)

Уравнение (13) удобно записывать в матричном виде:

(3.1.13а)

Тогда, далее

(3.1.13b)

Обозначая коэффициенты матрицы через µ_{ij ,} последнее уравнение удобно представить в виде

(3.1.14)

где

(3.1.15)

Решение системы неоднородных нелинейных дифференциальных уравнений – задача довольно сложная. Мы просто докажем, что данное решение может быть записано в виде

(3.1.16)

Действительно, подставляя соотношение (16) в (14), получим

(3.1.17)

В левой и в правой части выражение (17) стоят полиномы третьей степени. Следовательно, для выполнения данного равенства достаточно приравнять коэффициенты возле соответствующих степеней Х. Это право мы предоставим дотошному читателю, для нас же важно соответствие выражения (16) модели Лотки-Вольтерра, которая является упрощенной формой нашей модели. Заметим, что модель (1) также получается из нашей модели при условии, что С⁰=0.

Далее, в случае, если у нас один объект, и Q=-2βmq=const*q, то мы получаем следующее уравнение

(3.1.18)

откуда

(3.1.19)

и, при , получаем

(3.1.20)

что является S-образной моделью изменения численности популяций.

Значит, нам с помощью одной нашей модели удалось получить три из четырех существующих моделей, описывающих зависимость численности популяций от времени. Таким образом, мы показали связь существующих моделей, описывающих изменение численности популяций со временем с нашей моделью, которая является более общей.

Но модели - моделями, а физика, как неживого, так и живого, – наука экспериментальная. Посмотрим, насколько точно наша модель соответствует эксперименту.

3.1.3