§ 5. Ду 1-го порядка с разделяющимися переменными

ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными можно отнести к самому важному виду уравнений. Оказывается, почти все изучаемые дифференциальные уравнения на заключительном этапе используют приемы разделения переменных.

Рассмотрим принципиально различные виды уравнений с разделяющимися переменными:

А. Форма записи уравнения: y′=f(x)∙g(y);

В. Форма записи уравнения: f₁(x)∙g₁(y)dx+f₂(x)∙g₂(y)dy=0;

С. Форма записи уравнения: y′=f(ax+by+c).

Учтем, что выражения А и В в «явном виде» не предлагают. Нужно «заметить», что запись уравнения y′=f(x,y) приводится к форме записи: y′=f(x)∙g(y), то есть к форме А. Аналогично из записи M(x,y)dx+ N(x,y)dy=0 «попробовать» получить f₁(x)∙g₁(y)dx+f₂(x)∙g₂(y)dy=0.

Замечание: будем считать также, что уравнения с разделяющимися переменными имеют стандартную форму записи, если она приведена либо к форме y′=f(x)∙g(y), либо к форме f₁(x)∙g₁(y)dx+f₂(x)∙g₂(y)dy=0.

☺☺

Пример 1–13: Из набора дифференциальных уравнений: а) ( + y²)y′–(y–2cosπ)x²=0;

б) (1+3y²)e^xy′–( +2)lnx=0;

в) (x–2xy²)e^xy′– =0

выделите уравнения с разделяющимися переменными.

Решение:

1). Преобразуем исходные выражения (не обязательно тождественно!):

а). y′= = =f(x)∙g(y) → переменные разделились.

б). y′= = =f(x)∙g(y) → переменные разделились.

в). y′= = → переменные не разделяются.

Ответ: из заданных ДУ только а) и б) уравнения с разделяющимися переменными.

Пример 1–14: Из набора дифференциальных уравнений: а) (y–2cosπ)x²dx– ( + y²)dy=0;

б) ( +2)lnxdx – (1+3y²)e^xdy=0;

в) dx– (x–2xy²)e^xdy=0

выделите уравнения с разделяющимися переменными.

Решение:

1). Преобразуем исходные выражения:

а). (y–2cosπ)x²dx– (1+y²)dy=f₁(x)∙g₁(y)dx+f₂(x)∙g₂(y)dy=0 → переменные разделились.

б). ( +2)lnxdx–(1+3y²)e^xdy=f₁(x)∙g₁(y)dx+f₂(x)∙g₂(y)dy=0 → переменные разделились.

в). dx–xe^x(1–2y²)dy ≠ f₁(x)∙g₁(y)dx+f₂(x)∙g₂(y)dy=0 → разделить переменные не сможем.

Ответ: из заданных ДУ только а) и б) уравнения с разделяющимися переменными.

Пример 1–15: Из набора дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными:

а) y²arcsinxdx– dy=0; б) y²arcsinxdx– ∙ dy=0;

в) ( +1) y^–3dx+y(1+cosx)dy=0; г) dx+(y+ycosx)dy=0.

выделите уравнения, имеющие стандартную форму записи.

Решение:

1). Учитывая определение «стандартной формы» уравнения с разделяющимися переменными, видим, что в форме f₁(x)∙g₁(y)dx+f₂(x)∙g₂(y)dy=0 записаны уравнения: б) и в).

2). Записываем ответ.

Ответ: стандартную форму записи имеют только уравнения: б) и в).

☻

Случай-А: при выполнении задания необходимо знать, что уравнение с разделяющимися переменными необходимо привести к виду: f₁(y)dy = f₂(x)dx, после чего его можно интегрировать. При переходе от записи y′=f(x)∙g(y) к записи f₁(y)dy=f₂(x)dx могут использоваться нетождественные преобразования (например, деление на алгебраическое выражение). Эти ситуации требуют дополнительных исследований с целью выявления всех возможных решений заданного уравнения.

Общая схема решения уравнения такова:

0). Анализируя исходную запись уравнения, отмечаем, что его форма: y′=f(x)∙g(y) или очевидно к ней приводится.

1). Для приведения его к форме: f₁(y)dy=f₂(x)dx придется выполнить деление на g(y). Если возможно равенство: g(y₀)=0, то функция y=y₀ (прямая, параллельная оси OX) есть решение уравнения в исходной записи. Это решение необходимо выделить.

2). Теперь принимаем: g(y)≠0) и записываем уравнение в форме: =f(x)∙dx. (1)

3). Интегрируем уравнение (1): = +C – общий интеграл ДУ в обобщенной записи: F(x,y,C)=0.

4). Оформляем «Ответ»: записываем общий интеграл: F(x,y,C₁)=0 и добавляем решение: y=y₀ , если имеет место равенство: g(y₀) = 0.

☺☺

Пример 1–16: Решить дифференциальное уравнение y′=– y. (1)

Решение:

1). Видим, заданное уравнение (1) имеет форму записи: y′=f(x)∙g(y), то есть переменные разделяются.

2). Для разделения переменных потребуется деление на g(y)=y. Учтем, что y=0 есть решение (ось ОХ).

3). При условии, что y≠0 совершаем разделение переменных: =– . (2)

4). Интегрируем уравнение (2): ln|Cy|= или y=C – общий интеграл ДУ в обобщенной записи: F(x,y,C)=0..

Ответ: y=C – общее решение; y=0 (отметим, что это решение можно получить при С=0 из общего решения!).

☻

Случай-В: при выполнении задания необходимо знать, что уравнение с разделяющимися переменными необходимо привести к виду: φ₁(x)dx+φ₂(y)dy=0, после чего его можно интегрировать. При переходе от записи f₁(x)∙g₁(y)dx+f₂(x)∙g₂(y)dy=0 к записи φ₁(x)dx+φ₂(y)dy=0 могут использоваться нетождественные преобразования (например, деление на алгебраическое выражение). Эти ситуации требуют дополнительных исследований с целью выявления всех возможных решений заданного уравнения.

Общая схема решения уравнения такова:

0). Анализируя исходную запись ДУ, отмечаем, что его форма: f₁(x)∙g₁(y)dx+f₂(x)∙g₂(y)dy=0 или очевидно к ней приводится.

1). Для приведения его к форме: φ₁(x)dx+φ₂(y)dy=0 придется выполнить деление на g₁(y) и на f₂(x). Если возможно равенство: g₁(y₀)=0, то y=y₀ (прямая, параллельная оси OX) является решением заданного уравнения. Его необходимо учесть при записи ответа. Также, если возможно равенство: f₂(x₀)=0, то x=x₀ (прямая, параллельная оси OY) является решением заданного уравнения. Его тоже необходимо учесть при записи ответа, т.е. общего решения ДУ.

2). Учитывая, что теперь g₁(y₀)≠0 и f₂(x₀)≠0, преобразуем исходное уравнение к виду с разделенными переменными: dx+ dy=0. (1)

3). Интегрируем уравнение (1): + = C₁ – общий интеграл ДУ в обобщенной записи: F(x,y,C)=0.

4). Оформляем «Ответ»: записываем общий интеграл: F(x,y,C₁)=0 и добавляем решения: y=y₀ , если имеет место равенство: g₁(y₀)=0, и x=x₀ , если имеет место равенство: f₂(x₀)=0.

☺☺

Пример 1–17: Решить дифференциальное уравнение xydx+ dy=0. (1)

Решение:

0). Видим, заданное уравнение (1) имеет форму записи: f₁(x)∙g₁(y)dx+f₂(x)∙g₂(y)dy=0, то есть переменные разделяются.

2). Для разделения переменных потребуется деление на g₁(y)=y и на f₂(x)= . Необходимо учесть два решения: y=0 (ось ОХ) и x = ±1 (прямые, параллельные оси OY).

3). При условии, что y ≠ 0 и x ≠ ±1 совершаем разделение переменных. Для окончательной записи решения удобно принять форму: =– . (2)

4). Интегрируем уравнение (2): ln|Cy|= или y=C – общий интеграл ДУ в обобщенной записи: F(x,y,C)=0.

Ответ: y=C – общее решение; y=0 (отметим, что это решение можно получить при С=0 из общего решения!); x = ±1 (из общего не получается ни при каком С).

Замечание: можно сравнить уравнения (2) в примерах 1-15 и 1-16: они одинаковы! Но пришли мы к ним из различных исходных записей, поэтому и записи ответов различаются!

☻

Случай-С: случай интересен тем, что при решении уравнения: y′=f(ax+by+c) используется замена функции y=y(x) функцией u=u(x) и задача сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Общая схема решения уравнения такова:

0). Запишем уравнение в виде: by′=bf(ax+by+c), для удобства!

1). Примем: u=ax+by+c и продифференцируем это равенство по x: u′=a+by′, или by′=u′–a.

2). Так как функция u=u(x) должна быть решением заданного уравнения, то необходимо: u′–a=bf(u), или u′=bf(u)+a=φ(u).

3). Интегрирование уравнения u′=φ(u) равносильно нахождению первообразной. Если возможно φ(u₀)=0, то к решениям следует отнести также u=u₀, то есть линию: bf(u₀)+a=0.

4). После получения решения: u=u(x) уравнения u′=φ(u) остается выразить y=y(x), используя выражение замены: u= ax+by+c.

Замечание: цепочку преобразований перехода от заданного ДУ: u=ax+by+c → u′=bf(u)+a → u=u(x) → y=y(x) нужно выполнять как стандартную «технологию»!

☺☺

Пример 1–19: Решить дифференциальное уравнение y′=cos(x+y). (1)

Решение:

0). Видим, заданное уравнение (1) имеет форму записи: y′=f(ax+by+c).

1). Примем: u=x+y и продифференцируем это равенство по x: u′=1+y′, или u′=1+cos(u). Условие φ(u)=0 дает решение: u=π+2πn, n Z, или x+y= π+2πn – семейство параллельных прямых!

2). При условии, что φ(u) ≠ 0, получим уравнение: =dx. (2)

3). Интегрируем уравнение (2): tg =x+C, или tg =x+C – общий интеграл ДУ в обобщенной записи: F(x,y,C)=0.

Ответ: tg =x+C – общее решение; x+y= π+2πn, n Z (из общего не получается ни при каком С).

☻

Замечание: случаи А,В,С записи уравнений с разделяющимися переменными будем называть стандартными.