§ 3. Особые точки дифференциального уравнения 1-го порядка
К особым точкам дифференциального уравнения F(x,y,y′)=0 относят точки, в которых нарушается либо «существование», либо «единственность» решения.
Заметим также, что условия теоремы 1.1 являются лишь достаточными, но не необходимыми. Поэтому особые точки ДУ следует искать среди точек разрыва функции f(x,y) и точек, где не существует производная , но не все такие точки обязательно особые!
Поведение интегральных кривых в окрестности особой точки бывает различным. Мы рассмотрим уравнение, особая точка которого очевидна – (0,0):
y′=
.
☺☺
Пример 1–06:
Для дифференциального уравнения: y′=
установить вид особой точки (0,0).
Решение:
1
).
Легко видеть, что в уравнении переменные
и легко разделяются:
=2
. (1)
2). Общее решение уравнения (1): y=Сx2.
3). При любом C имеем параболу, содержащую точку (0,0), то есть в этой точке нарушена «единственность» решения → точка (0,0) – особая. Её называют «узлом»
Ответ: Особая точка заданного ДУ– «узел» (см. рисунок).
Пример 1–07:
Для дифференциального уравнения: y′=
установить вид особой точки (0,0).
Решение:
1
).
Легко видеть, что в уравнении переменные
и легко разделяются:
=
. (1)
2). Общее решение уравнения (1): y=Сx.
3). При любом C имеем прямую, содержащую точку (0,0), то есть в этой точке нарушена «единственность» решения → точка (0,0) – особая. Её называют «дикритическим узлом». Отличается от предыдущего тем, что в особой точке каждая интегральная кривая имеет своё направление.
Ответ: Особая точка заданного ДУ– «дикритический узел» (см. рисунок).
Пример 1–08: Для дифференциального уравнения: y′=– установить вид особой точки (0,0).
Решение:
1
).
Легко видеть, что в уравнении переменные
и легко разделяются:
=–
. (1)
2). Общее решение уравнения (1): xy=С – семейство гипербол.
3). При C=0 имеем оси координат: x=0, y=0. В точке (0,0) точке нарушена «единственность» решения → точка (0,0) – особая. Её называют «седловиной». Отличается от предыдущего тем, что при C≠0 интегральные кривые через особую точку не проходят.
Ответ: Особая точка заданного ДУ– «седловина» (см. рисунок).
Пример 1–09:
Для дифференциального уравнения: y′=
установить вид особой точки.
Решение:
1).
Легко видеть, что уравнение однородное:
xu′=
–u,
или xu′=
. (1)
2
).
Общее решение уравнения (1):
arctgu–
ln(1+u2)=
lnСx,
или x
=Сearctgu,
или
=
.
Перейдем к полярным координатам: ρ=Сeφ
– семейство логарифмических спиралей,
которые образуют вокруг начала координат
неограниченное число витков (при φ=–∞).
3). При C=0 имеем точку (0,0). В точке (0,0) нарушена «единственность» решения → точка (0,0) – особая. Её называют «фокусом». Отличается от предыдущего тем, что при C≠0 интегральные кривые через особую точку не проходят.
Ответ: Особая точка заданного ДУ– «фокус» (см. рисунок).
Пример 1–10:
Для дифференциального уравнения: y′=–
установить вид особой точки (0,0).
Решение:
1
).
Легко видеть, что в уравнении переменные
и легко разделяются: xdx+ydy=0. (1)
2). Общее решение уравнения (1): x2+y2=С – семейство концентрических окружностей.
3). При C=0 имеем точку (0,0). Точка (0,0) не является решением так как исходное уравнение не существует в этой точке → точка (0,0) – особая. Её называют «центром». Отличается от предыдущего тем, что при C≠0 интегральные кривые через особую точку не проходят.
Ответ: Особая точка заданного ДУ– «центр» (см. рисунок).
☻