§ 4. Простейшие задачи, вытекающие из определения ду 1-го порядка

Задача-1. Пусть заданы: ДУ в виде y′=f(x,y), или F(x,y,y′), а также функция y=φ(x). Нужно определить является ли y=φ(x) решением заданного ДУ.

Решение: Так как функция y=φ(x) должна превращать в тождество дифференциальное уравнение 1-го порядка, то подставлять в уравнение необходимо не только саму функцию, но и её производную y′. Это определяет общую схему решения задачи:

1). Пусть имеем дифференциальное уравнение F(x,y,y′)=0 и необходимо проверить является ли данная функция y=φ(x) решением этого уравнения.

2). Вычисляем производную заданной функции y′=φ′(x).

3). Подставляем в уравнение функцию y=φ(x) и ее производную y′=φ′(x).

4). Если уравнение F(x,φ(x),φ′(x))=0 обратилось в тождество, функция y=φ(x) является решением уравнения F(x,y,y′)=0, иначе – не является.

5). Записываем ответ: функция y=φ(x) является (не является) решением заданного ДУ.

Ответ: Является (Не является).

☺☺

Пример 1–11: Задано ДУ: (xy²+x)dx+(y–x²y)dy=0. Определить, является ли функция 1+y²=2(1–x²) решением данного уравнения.

Решение:

1). Представим уравнение в виде: xy²+x+(y–x²y)y′=0. (1)

2). Найдем производную данной функции 1+y²=2(1–x²). Считая y=y(x), продифференцируем выражение 1+y²=2(1–x²) по x: → 2yy′=–4x . (2)

3). Умножим уравнение (1) на 2y: 2xy³+2yx+(y–x²y)2yy′=0. Заменим в этом выражении 2yy′ на –4x. Получим: 2xy³+2yx–4yx+8x³y≠0.

4). Это значит: заданная функция не является решением заданного уравнения.

Ответ: функция: 1+y²=2(1–x²) – не является решением заданного уравнения.

☻

Задача-2. Пусть задано семейство кривых: y=φ(x,С). Построить ДУ, для которого это семейство является решением..

Решение: при выполнении задания необходимо знать, что семейство кривых может быть задано в виде функции с параметром: y=φ(x,С). Оказывается можно построить дифференциальное уравнение F(x, y, y′)=0, решением которого является функция y = φ(x,С).

Общая схема выполнения задания такова:

1). Пусть имеем семейство кривых y=φ(x,С).

2). Вычислим производную y′=φ′(x,С).

3). Имея систему: исключим параметр С из первого выражения, используя второе, или наоборот (способ каждый выбирает сам!):

а) выразим из y=φ(x,С) параметр С=f₁(x,y) и подставим его выражение для производной y′=φ′(x,С); полученное выражение y′=φ′(x,f₁(x,y)) является искомым дифференциальным уравнением, для которого решением является заданное семейство кривых y=φ(x,С);

б) выразим из y′=φ′(x,С) параметр С=f₂(x,y′) и подставим его выражение для семейства кривых y=φ(x,С); полученное выражение y=φ(x,f₂(x,y′)) является искомым дифференциальным уравнением, для которого решением является заданное семейство кривых y=φ(x,С);

5). Записываем ответ: семейство кривых y=φ(x,С) определяет дифференциальное уравнение: y′=φ′(x,f₁(x,y)) - из п. 3_а) (или y=φ(x,f₂(x,y′)) - из п. 3_б)).

Ответ: Запись найденного ДУ (записи у разных авторов могут отличаться, не принципиально!).

☺☺

Пример 1–12: Имеем семейство кривых: 2x+y–1=Ce^2y–x. Необходимо построить дифференциальное уравнение, для которого данное семейство кривых является решением.

Решение:

1). Учитывая, что для заданного семейства кривых явное выражение функции y=φ(x,С) не может быть получено, продифференцируем заданное выражение семейства кривых, учитывая, что y = f(x): 2+y′=Ce^2y–x(2y′–1). (1)

2). Для исключения параметра С проще всего умножить выражение семейства кривых на скобку (2y′–1) и учесть равенство (1): (2x+y–1)(2y′–1)=Ce^2y–x(2y′–1)=2+y′.

3). После несложных преобразований последнего выржения получаем дифференциальное уравнение: (4x+2y–3)y′=2x+y+1.

Ответ: семейство кривых: 2x+y–1=Ce^2y–x является решением дифференциального уравнения: (4x+2y–3)y′=2x+y+1.

☻