1. : Решить дифференциальное уравнение: (x+1)y′+xy =0.
Решение: 0). Запишем уравнение в виде: (x+1)dy + xydx =0 – уравнение с разделяющимися переменными.
1). Учитывая «Решение–В», запишем решения, которые следуют из исходной записи уравнения: x+1=0 и y=0.
2). Учитывая, что теперь x+1≠0 и y≠0,
запишем уравнение в виде:
+
=0;
«видим!»: переменные разделились →
можно приступить к интегрированию ДУ!
3). Интегрируем:
+
=C
или ln|y| + x – ln|x+1| = C,
лучше:
=
eC–x=Ce–x – общее решение
дифференциального уравнения; еще лучше:
y=C(x+1)e–x.
Замечание: постоянная С «берет на себя» заботу о согласовании знаков величин, если будет необходимо учесть начальные условия!
3). Из общего решения ДУ при С=0 следует: решение y = 0, но ни при каком значении С не следует: x+1=0.
Ответ: y = С(x+1)e–x – общее решение ДУ; также x+1=0 (из общего решения не получается ни при каком значении С) и y=0 (входит в общее решение при С=0).
2:
Решить дифференциальное уравнение:
. (1)
Решение:
1). Прежде всего, отметим, что исходное
уравнение (1) имеет очевидное решение
.
2). Видим, в записи (1) функции
и
однородные порядка 1. Учитывая, что
теперь
,
запишем уравнение (1) в виде:
=
. (2)
3). Запишем:
=
.
Вычислим интеграл
=
=
.
4). Для функции
получено общее решение:
=
,
или
.
Учитывая, что
,
перепишем общее решение использованием
:
,
удобнее
.
Ответ:
– общее решение ДУ, также x=0 (из
общего не выделяется ни при каком
).
3: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
1). Преобразуем заданное уравнение к
виду:
=
.
Известно, что такое уравнение легко
приводится к уравнению с разделяющимися
переменными!
2). Примем
и вычислим производную
,
то есть
.
В нашем случае получаем
,
что есть уравнение с разделяющимися
переменными!
3). Уравнение
имеет решение в виде функции:
.
Учитывая обозначение
,
запишем решение
– прямая линия.
Замечание: Увидеть решение непосредственно из исходного уравнения было бы совсем непросто!
4). Пусть теперь
.
Запишем уравнение
в виде:
,
или (для удобства!) в виде:
. (2)
5). Интегрирование уравнения (2) не составит
труда, даже на начальном этапе освоения
неопределённого интеграла 
→
. (3)
Ответ: общее
решение ДУ
;
в данном случае решение
можно получить формально из общего при
значении
=0;
запишем общее решение и в виде
,
из которого решение
получается из общего при значении
=0.
4: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
1). Приводим уравнение (1) к стандартной
форме:
.
2). Вычисляем интеграл:
=
=
.
Тогда:
=
=
,
или
=
.
Замечание: в
последней записи выражения для функции
знак модуля опущен, так как от функции
требуется только обеспечить выполнение
равенства:
(это показано в Пособии при получении
алгоритма решения линейного уравнения).
3). Вычисляем:
=
=
+
=
+
.
4). Запишем общее решение уравнения:
=
∙
=
.
Ответ: = – общее решение.
5: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение:
1). Прежде всего, отметим, что исходное
уравнение (1) не предлагает простейших
решений вида:
и
.
2). Запишем уравнение (1) в виде: 2
+2
=0.
Умножение на число 2 учитывает, что
!
3). В результате интегрирования получим:
– общее решение ДУ.
Ответ: общее решение ДУ: .
6. : Решить дифференциальное уравнение: (1+ x2)y′= 2xy+(1+ x2)2. (1)
Решение: 1). Так как заданное уравнение
не «стандартной формы», приводим его к
стандартной форме: y′+P(x)∙y=Q(x),
то есть: y′–
y=
x2+1. (2)
2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:
a0. Решение уравнения ищем в виде функции: y=u∙v.
a1.
Вычислим интеграл: –
и запишем: u=
.
a2.
Вычислим функцию v: v =
+С.
a3.
Запишем общее решение уравнения: y=u∙v=
∙
.
3). В нашем случае: уравнение линейное, имеет «стандартную форму»: y′+P(x)∙y=Q(x)!
a0. Решение уравнения ищем в виде функции: y=u∙v.
a1.
Вычислим интеграл: –
=–
=–ln(x2+1)
→ u=
=
x2+1.
a2.
Вычислим функцию v: v =
+С=
+С
= x +С.
a3. Запишем общее решение уравнения: y=u∙v=(x2+1)∙(x +С).
Ответ:
y=u∙v=(x2+1)∙(x +С)
– общее решение. Ответ:
– общее решение ДУ.
7.: Решить дифференциальное уравнение: . (1)
Решение: 1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет очевидное решение .
2). Видим, в записи (1) функции и однородные порядка 1. Учитывая, что теперь , запишем уравнение (1) в виде: = . (2)
3). Запишем: = . Вычислим интеграл = = .
4). Для функции получено общее решение: = , или . Учитывая, что , перепишем общее решение использованием : , удобнее .
Ответ: – общее решение ДУ, также x=0 (из общего не выделяется ни при каком ).