21: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Приводим уравнение (1) к стандартной форме: .

2). Вычисляем интеграл: = = . Получаем: = = , или (удобнее!) = .

Замечание: в последней записи выражения для функции знак модуля опущен, так как от функции требуется только обеспечить выполнение равенства: (это показано в Пособии при получении алгоритма решения линейного уравнения).

3). Вычисляем: = = + = .

4). Запишем общее решение уравнения: = ∙ = .

Ответ: = – общее решение.

22: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет очевидное решение .

2). Видим, в записи (1) функции и однородные порядка 1. Учитывая, что теперь , запишем уравнение (1) в виде: = . (2)

3). Запишем: = . Вычислим интеграл = = .

4). Для функции получено общее решение: = , или . Учитывая, что , перепишем общее решение использованием : , удобнее .

Ответ: – общее решение ДУ, также x=0 (из общего не выделяется ни при каком ).

23: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Уравнение (1) соответствует стандартной форме: и .

2). Вычисляем интеграл: = = и записываем выражение: = = .

3). Вычисляем: = = + = + = + .

4). Запишем общее решение уравнения: = ∙ .

Ответ: = ∙ – общее решение.

24 : Решить дифференциальное уравнение: (1+ x²)y′= 2xy+(1+ x²)². (1)

Решение: 1). Так как заданное уравнение не «стандартной формы», приводим его к стандартной форме: y′+P(x)∙y=Q(x), то есть: y′– y= x²+1. (2)

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a⁰. Решение уравнения ищем в виде функции: y=u∙v.

a¹. Вычислим интеграл: – и запишем: u= .

a². Вычислим функцию v: v = +С.

a³. Запишем общее решение уравнения: y=u∙v= ∙ .

3). В нашем случае: уравнение линейное, имеет «стандартную форму»: y′+P(x)∙y=Q(x)!

a⁰. Решение уравнения ищем в виде функции: y=u∙v.

a¹. Вычислим интеграл: – =– =–ln(x²+1) → u= = x²+1.

a². Вычислим функцию v: v = +С= +С = x +С.

a³. Запишем общее решение уравнения: y=u∙v=(x²+1)∙(x +С).

Ответ: y=u∙v=(x²+1)∙(x +С) – общее решение. Ответ: – общее решение ДУ.