11

ДУ. Занятие 2

ЗАНЯТИЕ 2. Однородные функции и однородные уравнения первого порядка. Уравнения специального вида, приводящиеся к однородному ДУ 1-го порядка.

Ауд.

Л-3

гл.10: № 47, 50, 55, 56, 59, 60, 62, 177.

8

☺ ☻ ☺

Пример 1–47: Решить дифференциальное уравнение: y′ = + sin .

Решение:

1). Так как в заданном уравнении правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное!

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «а» (см. Лекцию!):

a¹. Выделяем возможные решения исходного уравнения: f(x,y₀)=0. Это даёт одно из решений: y = y₀ – прямая, параллельная оси ОХ.

a². Примем = u; получим выражение: φ(u)=f(u)–u.

a³. Проверим условие: φ(u₀)= f(u₀)–u₀=0. Если оно выполняется, то одним из решений заданного уравнения является прямая: u=u₀ , или прямая y=u₀ x.

a⁴. Учитывая, что теперь f(u)–u≠0, запишем ДУ в виде: . (1)

a⁵. Находим интеграл: J= .

a⁶. Записываем результат интегрирования уравнения (1): J=lnCx. Записываем общее решение ДУ, учитывая что u = .

3). В нашем случае:

a¹. Выделяем возможные решения исходного уравнения: f(x,y₀)=0. Это даёт одно из решений: y = y₀ = 0 – ось ОХ.

a². Примем = u; получим: φ(u)=f(u)–u= u+ sinu–u= sinu.

a³. Проверим условие: φ(u₀)= f(u₀)–u₀=0. У нас: sinu = 0 даёт u=u₀ =πn, n Z, которые являются решениями ДУ, то есть y=x∙πn, n Z – семейство прямых, проходящих через начало координат XOY. При n=0 получаем найденное ранее y₀ = 0 – ось ОХ.

a⁴. Учитывая, что теперь f(u)–u≠0, запишем ДУ в виде (1): = .

a⁵. Интегрируем уравнение (1): ln|tg |= lnCx → tg =Cх.

a⁶. Записываем общее решение ДУ. Учитывая что , получаем: tg = Cх.

Ответ: tg = Cх – общее решение ДУ, также: y = x∙πn, n Z.

Пример 2–50: Решить дифференциальное уравнение: (x–y)dx+xdy =0.

Решение:

1). Заданное ДУ – однородное: множители при dx и dy – однородные функции 1-го порядка (одинакового!). Далее используется «стандартный алгоритм» решения уравнения, заданного в дифференциальной форме.

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «в» (см. Лекцию!):

a⁰. Выделяем возможные решения исходного уравнения f₁(x,y)dx+f₂(x,y)dy=0. Первое: f₁(x,y₀)=0. Это даёт одно из решений: y=y₀ – прямая, параллельная оси ОХ. Второе: f₂(x₀,y)=0. Это даёт ещё одно из решений: x=x ₀ – прямая, параллельная оси ОY.

a¹. Для заданного уравнения: f₁(x,y)dx+f₂(x,y)dy = 0 запишем очевидное преобразование: y′= , где = , где правая часть является однородной функцией нулевого порядка, так как f₁(x,y) и f₂(x,y) – однородные функции одного порядка. Здесь учтено: f₂(x,y) ≠ 0.

a². Примем = u; получим выражение: φ(u)=f(u)–u.

a³. Проверим условие: φ(u₀)= f(u₀)–u₀=0. Если оно выполняется, то одним из решений заданного уравнения является прямая: u=u₀ , или прямая y=u₀ x.

a⁴. Учитывая, что теперь f(u)–u≠0, запишем ДУ в виде: . (1)

a⁵. Находим интеграл: J= .

a⁶. Записываем результат интегрирования уравнения (1): J=lnCx. Записываем общее решение ДУ, учитывая что u = .

3). В нашем случае ДУ: (x–y)dx+xdy =0.

a⁰. Выделяем возможные решения исходного уравнения f₁(x,y)dx+f₂(x,y)dy=0.Имеем: f₁(x,y)= (x–y); f₂(x,y) = x. Первое: f₁(x,y₀) ≠0 ни при каких y₀, так как x может принимать произвольные значения! Второе условие: f₂(x₀,y)=0. Даёт решение: x=x₀=0 – ось ОY.

a¹. Запишем наше уравнение в виде: y′= : y′= –1. Здесь учтено: f₂(x,y)=x≠ 0.

a². Примем = u; получим выражение: φ(u)=f(u)–u=u–1–u= –1.

a³. Проверим условие: φ(u₀)=–1≠0.

a⁴. Учитывая, что теперь f(u)–u≠0, записываем уравнение: = . (1)

a⁵. Находим интеграл: J= =–u.

a⁶. Записываем результат интегрирования уравнения (1): –u=lnCx → e^–u =Cх. Записываем общее решение ДУ. Учитывая что u = , получаем: x∙ =C.

Ответ: x∙ =C – общее решение ДУ, также x=0 (из общего не выделяется ни при каком С).

Пример 3–55: Решить дифференциальное уравнение: xy′– y = .

Решение:

Замечание: так как переменная может принимать как значения x>0, так и x<0, необходимо рассмотреть оба случая!

Случай-1– x>0:

0). Представим ДУ в виде: y′ = + . Деление на x≠0.