- •Сборник заданий
- •Оглавление
- •Часть 1. Дифференциальные уравнения (ду) 1-го порядка.
- •Часть 1. Дифференциальные уравнения (ду) 1-го порядка.
- •1.1. Для заданного семейства кривых составить дифференциальное уравнение.
- •1.2. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
- •1.3. Решить однородное дифференциальное уравнение.
- •1.4. Решить линейное дифференциальное уравнение.
- •1.5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли.
- •1.6. Решить уравнение в полных дифференциалах.
- •1.7. Используя ду 1-го порядка, найти уравнение кривой с заданными свойствами.
- •1.8. Используя ду 1-го порядка, решить задачи из физики и химии.
- •1.9. Дополнительные задачи к Части 1: уравнения Лагранжа и Клеро.
Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский университет МИЭТ |
А. И. Литвинов
СБОРНИК ЗАДАНИЙ для самостоятельной работы студентов по курсу «Дифференциальные уравнения» (факультет ИТС)
Часть 1
|
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-го ПОРЯДКА
|
Учебное пособие
Утверждено методическим советом кафедры ВМ-2 Зав. кафедры С. Г. Кальней
|
Россия, г. Москва 2013 г. |
А.И. Литвинов
Сборник заданий
для самостоятельной работы студентов по курсу
«Дифференциальные уравнения»
(факультет ИТС МИЭТ)
Часть 1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1-го ПОРЯДКА
Учебное пособие
Утверждено методическим советом кафедры ВМ-2
Зав. кафедры С. Г. Кальней
Москва
2013
Прочти, реши и опять прочти!..
АННОТАЦИЯ
Сборник содержит систематизированный набор задач по основным разделам предмета «Дифференциальные уравнения» в части дифференциальных уравнений 1-го порядка. Основная цель Сборника – предоставить студентам стандартный набор задач для самостоятельнойдоработки материала Предмета.
По каждой теме, представленной в Сборнике, приведены примеры применения общих алгоритмов, полученных в теории дифференциальных уравнений. Учитывается, что общие алгоритмы достаточно отработаны на семинарских занятиях и при выполнении текущих домашних заданий и не нуждаются в их обосновании.
При оформлении каждого выполненного задания студенты должны руководствоваться иллюстрирующими примерами Сборника: применение общих алгоритмов должно сопровождаться краткими комментариями и пояснениями.
Оглавление
Стр.
Аннотация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Часть 1. Дифференциальные уравнения (ду) 1-го порядка.
1.1. Для заданного семейства кривых составить дифференциальное уравнение . . . 5
1.2. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Решить однородное дифференциальное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Решить линейное дифференциальное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6. Решить уравнение в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7. Используя ДУ 1-го порядка, найти уравнение кривой с заданными свойствами . . . . . . . . . . . 18
1.8. Используя ДУ 1-го порядка, решить задачи из физики и химии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9. Дополнительные задачи к Части 1: решить уравнения Лагранжа и Клеро . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
•◄●►•
Часть 1. Дифференциальные уравнения (ду) 1-го порядка.
1.1. Для заданного семейства кривых составить дифференциальное уравнение.
Общие сведения. Известно, чтообщее решениедифференциального уравнения 1-го порядка может быть представлено в виде выражения:, где− произвольная постоянная величина. Учитывая Теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения, можем утверждать, что при выполнении требований Теоремы в областикаждому (допустимому) значениюсоответствует кривая линия. Учитывая традиции математики: каждой прямой операции определять обратную, поставим вопрос – А нельзя ли, имея функцию, где− параметр, найти такое дифференциальное уравнение (обратная операция), для которого функциябыла бы решением?..
Задача: Пусть задано семейство кривых:, где− параметр. Будем считать, что функцияопределяет неявную функцию(хотя при помощи этой же функции может быть определена неявная функция). Необходимо составить дифференциальное уравнение, решением которого является это семейство.
Общая схема решения задачи:
1). Используя функцию , запишем тождество:. Левая часть этого тождества представляет собой сложную функция переменной, которая тождественно равна нулю. Тогда и производная её по переменнойтакже есть нуль. Дифференцируя это тождество по переменной , получим:==0.
2). Запишем систему: Исключивпараметр из этой системы, получим выражение, содержащее только переменные− дифференциальное уравнение, решением которого является семейство кривых: .
3). Оформляем результат решения задачи – записываем Ответ.
Замечание: В виде подсказки: каждый студент должен знать, что все Задания подобраны так, чтобы указанная система имела вполне простое решение!..
Пример (и образец оформления):
Пример 1.1. Имеем семейство кривых: . Необходимо построить дифференциальное уравнение, для которого данное семейство кривых является решением.
Решение:
1). Считая, что выражение определяет неявнуюфункцию ,продифференцируем это выражение по независимой переменной . Имеем: .
2). Запишем систему: Для исключения из системыпараметра умножим первое равенство на скобку: правые части первого и второго равенств оказались равными. Но тогда равны и левые части первого и второго равенств:−получено дифференциальное уравнение 1-го порядка, решением которогоявляется заданное семейство кривых.
Ответ: семейство кривых: является решением дифференциального уравнения: , или .
Задание 1.1. Составить ДУ для семейства кривых:
Вар. |
Семейство: |
Вар. |
Семейство: |
1.1.1. |
. |
1.1.16. |
. |
1.1.2. |
. |
1.1.17. |
. |
1.1.3. |
. |
1.1.18. |
. |
1.1.4. |
. |
1.1.19. |
. |
1.1.5. |
. |
1.1.20. |
. |
1.1.6. |
. |
1.1.21. |
. |
1.1.7. |
. |
1.1.22. |
. |
1.1.8. |
. |
1.1.23. |
. |
1.1.9. |
. |
1.1.24. |
. |
1.1.10. |
. |
1.1.25. |
. |
1.1.11. |
=. |
1.1.26. |
. |
1.1.12. |
. |
1.1.27. |
. |
1.1.13. |
. |
1.1.28. |
. |
1.1.14. |
. |
1.1.29. |
. |
1.1.15. |
. |
1.1.30. |
. |