- •Сборник заданий
- •Оглавление
- •Часть 1. Дифференциальные уравнения (ду) 1-го порядка.
- •Часть 1. Дифференциальные уравнения (ду) 1-го порядка.
- •1.1. Для заданного семейства кривых составить дифференциальное уравнение.
- •1.2. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
- •1.3. Решить однородное дифференциальное уравнение.
- •1.4. Решить линейное дифференциальное уравнение.
- •1.5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли.
- •1.6. Решить уравнение в полных дифференциалах.
- •1.7. Используя ду 1-го порядка, найти уравнение кривой с заданными свойствами.
- •1.8. Используя ду 1-го порядка, решить задачи из физики и химии.
- •1.9. Дополнительные задачи к Части 1: уравнения Лагранжа и Клеро.
1.5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли.
Общие сведения. Для выполнения задания требуется знать, что решить дифференциальное уравнение – это значитнайти все его решения. Также важно знать, что уравнение Бернулли отличается от линейного дифференциального уравнения 1-го порядка только множителем в его правой части, причём необходимоне равно 0 и 1, так как при этих значениях уравнение Бернулли превращается в линейное уравнение. Заметим, что для случаев>0 сразу выделяется одно из решений уравнения:=0.
Задача: Имеем уравнение, приведённое к виду: . Необходимо найти все его решения. Если заданы начальные условия, найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.
Общая схема решения задачи:
1). Убедившись, что заданное уравнение есть уравнение Бернулли, при помощи подстановки преобразуем его в линейное уравнение:
, или: . (1.6)
2). Применив стандартный алгоритм решения линейного уравнения, находят функцию . Учитывая использованную подстановку, записывают решение исходного уравнения. При оформлении решения, в случае>0 учитывают также решение:=0.
3). Если заданы начальные условия: , выделяем из общего решения соответствующее частное решение.
4). Оформляем результат решения задачи – записываем Ответ.
Пример (и образец оформления):
Пример 1.5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли:∙.
Решение:
1). Заданное дифференциальное уравнение есть уравнение Бернулли, для случая =, одним из решений которого есть .
2). Применяя подстановку =, получаем линейное дифференциальное уравнение: , где и . Решение ищем в виде: .
2). Применим подстановку: =, перепишем заданное уравнение по общей формуле:, то есть в форме:, или, где=,=.
3). Далее применяем стандартный алгоритм решения линейного уравнения: , записанного в стандартной форме, приняв.
4). Вычисляем интеграл: ==и записываем выражение:==.
5). Вычисляем: =+=+ ==+.
6). Запишем общее решение уравнения: =∙, или=∙.
Ответ: =∙– общее решение, также решение .
Задание 1.5. Решить уравнение Бернулли:
Вар. |
Уравнение: |
Вар. |
Уравнение: |
1.5.1. |
. |
1.5.16. |
. |
1.5.2. |
. |
1.5.17. |
. |
1.5.3. |
. |
1.5.18. |
. |
1.5.4. |
. |
1.5.19. |
. |
1.5.5. |
. |
1.5.20. |
. |
1.5.6. |
. |
1.5.21. |
. |
1.5.7. |
. |
1.5.22. |
. |
1.5.8. |
. |
1.5.23. |
. |
1.5.9. |
. |
1.5.24. |
. |
1.5.10. |
. |
1.5.25. |
. |
1.5.11. |
. |
1.5.26. |
. |
1.5.12. |
. |
1.5.27. |
. |
1.5.13. |
. |
1.5.28. |
. |
1.5.14. |
. |
1.5.29. |
. |
1.5.15. |
. |
1.5.30. |
. |
1.6. Решить уравнение в полных дифференциалах.
Общие сведения. Пусть имеем функцию двух переменных:. В математическом анализе для такой функции определено понятиеполного дифференциала:, гдеи– частные производные функциипо переменными, соответственно. В частном случае, когда, запишем:. Оказывается, при выполнении определённых условий, выражение является дифференциалом некоторой функции. В таком случае уравнение: называют уравнением в полных дифференциалах и применяют специальный алгоритм для нахождения его решения:.
Задача: Имеем уравнение: . Показать, что заданное уравнение является уравнением в полных дифференциалах и решить его, применив стандартный алгоритм решения.
Общая схема решения задачи:
1). Проверяем выполнение условия: =. Если условие выполняется, то заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Решение ищем в виде функции.
2). Имея функцию =, находим функцию:=+, гдеотражает ту часть функции, которая была потеряна при дифференцировании:. Для удобства обозначим:=.
3). Функцию находим из условия=, или+=. Для этого необходимо проинтегрировать функцию:=–, то есть вычислить неопределённый интеграл:=.
4). Запишем общее решение уравнения: =+=, где− произвольная постоянная величина.
5). Для создания цельного зрительного образа всего алгоритма решение уравнения в полных дифференциалах представим весь процесс в виде цепочки действий:
=→=–→=→+=.(1.7)
6). Если заданы начальные условия: , выделяем из общего решения соответствующее частное решение.
7). Оформляем результат решения задачи – записываем Ответ.
Пример (и образец оформления):
Пример 1.6. Решить уравнение:, предварительно удостоверившись, что заданное ДУ – в полных дифференциалах.
Решение:
1). Вычислим производные: =3 и=3. Равенство=подтверждено, это значит, что заданное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.
2). Учитывая, что , вычислим:=+. В нашем случае имеем:
=+ =+.
3). Вычислим производную: =–. В нашем случае, учитывая заданное уравнением выражениеи результат (1), получаем:=.
4).Вычислим функцию: ==.
5). Используя функцию , записываем общее решение заданного уравнения в полных дифференциалах:=+==.
Ответ: общее решение уравнения:==.
Задание 1.6. Решить уравнение в полных дифференциалах, предварительно проверив, что заданное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах:
Вар. |
Уравнение: |
Вар. |
Уравнение: |
1.6.1. |
1.6.16. | ||
1.6.2. |
1.6.17. | ||
1.6.3. |
1.6.18. | ||
1.6.4. |
1.6.19. | ||
1.6.5. |
1.6.20. | ||
1.6.6. |
1.6.21. | ||
1.6.7. |
1.6.22. | ||
1.6.8. |
1.6.23. | ||
1.6.9. |
1.6.24. | ||
1.6.10. |
1.6.25. | ||
1.6.11. |
1.6.26. | ||
1.6.12. |
1.6.27. | ||
1.6.13. |
1.6.28. | ||
1.6.14. |
1.6.29. | ||
1.6.15. |
1.6.30. |