- •Сборник заданий
- •Оглавление
- •Часть 1. Дифференциальные уравнения (ду) 1-го порядка.
- •Часть 1. Дифференциальные уравнения (ду) 1-го порядка.
- •1.1. Для заданного семейства кривых составить дифференциальное уравнение.
- •1.2. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
- •1.3. Решить однородное дифференциальное уравнение.
- •1.4. Решить линейное дифференциальное уравнение.
- •1.5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли.
- •1.6. Решить уравнение в полных дифференциалах.
- •1.7. Используя ду 1-го порядка, найти уравнение кривой с заданными свойствами.
- •1.8. Используя ду 1-го порядка, решить задачи из физики и химии.
- •1.9. Дополнительные задачи к Части 1: уравнения Лагранжа и Клеро.
1.4. Решить линейное дифференциальное уравнение.
Общие сведения. Для выполнения задания требуется знать, что решить дифференциальное уравнение – это значитнайти все его решения. Также важно знать, что линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка названо линейным потому, что функциивходят в уравнение впервой степени. Линейные дифференциальные уравнения, как и уравнения с разделяющимися переменными, и однородные уравнения, легко распознаются среди других дифференциальных уравнений и имеют хорошо формализованный алгоритм решения.На первом этапе изучения дифференциальных уравнений это также важно!
Замечание: Линейное уравнение может быть записано в виде , что только обозначениями отличается от записи: . Общая схема решения уравнения, линейного относительно , не отличается от схемы решения, представленной ниже.
Задача: Имеем уравнение, приведённое к виду: . Необходимо найти все его решения. Если заданы начальные условия, найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.
Сведения из теории линейных уравнений:
1). В теории линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка показано, что общая схема решения линейного неоднородного уравнения может быть определена последовательностью действий:
а) найти общее решение однородного уравнения →=;
б) применяя метод вариации произвольной постоянной, записать =и потребовать, чтобы неизвестная функцияпревратила решениеоднородного уравнения в решениедля неоднородного (заданного) уравнения.
2). Применение метода вариации произвольной постоянной величины обнаружило формальное требование: сразу искать решение линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде функции: , гдеи. Достаточно просто были получены выражения для вычисления функцийи:
, +. (1.5)
3). Общее решение заданного уравнения: =.Указываются также очевидные решения (если такие имеются!), определяемые исходной записью уравнения.
4). Если заданы начальные условия: , из общего решения выделяется соответствующее частное решение.
Общая схема решения задачи:
1). В заданном уравнении указываем признаки линейного уравнения и записываем его в стандартной форме: (или, в соответствии с Заданием).
2). Принимаем и вычисляем функциии, применяя формулы (1.5).
3). Записываем общее решение заданного уравнения: =и очевидные решения (если такие имеются!), определяемые исходной записью уравнения.
4). Если заданы начальные условия: , выделяем из общего решения соответствующее частное решение.
5). Оформляем результат решения задачи – записываем Ответ.
Пример (и образец оформления):
Пример 1.4. Решить дифференциальное уравнение. Найти его частное решение при условии:.
Решение:
1). Заданное уравнение линейное относительно и , причём: и .
2). Применяем подстановку: . перепишем заданное уравнение:=.
3). Вычисляем интеграл:→ записываем.
4). Вычисляем интеграл:=+=+ → записываем =·.
5). Используя начальные условия (задача Коши), находим: =1 и записываем частное решение уравнения:=·.
Ответ:=·– общее решение; частное решение уравнения:=·.
Замечание.В задании (1.4) используются линейные уравнения как относительно, так и относительно. Для первого случая начальные условия представлены в виде:, для второго случая в виде:.
Задание 1.4. Решить линейное дифференциальное уравнение и найти частное решение для заданных начальных условий:
Вар. |
Уравнение и начальные условия: |
Вар. |
Уравнение и начальные условия: |
1.4.1. |
, . |
1.4.16. |
, . |
1.4.2. |
, . |
1.4.17. |
, . |
1.4.3. |
, . |
1.4.18. |
, . |
1.4.4. |
, . |
1.4.19. |
, . |
1.4.5. |
, . |
1.4.20. |
, . |
1.4.6. |
, . |
1.4.21. |
, . |
1.4.7. |
, . |
1.4.22. |
, . |
1.4.8. |
, . |
1.4.23. |
, . |
1.4.9. |
, . |
1.4.24. |
, . |
1.4.10. |
, . |
1.4.25. |
, . |
1.4.11. |
, . |
1.4.26. |
, . |
1.4.12. |
, . |
1.4.27. |
, . |
1.4.13. |
, . |
1.4.28. |
, . |
1.4.14. |
, . |
1.4.29. |
, . |
1.4.15. |
, . |
1.4.30. |
, . |