168

Глава 10. Однородные и неоднородные уравнения Эйлера.

До сих пор мы рассматривали линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Правая часть уравнения, представляемая функцией , могла быть как специального вида, так и произвольной. Имеющиеся методы решения позволяют получить общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в любом случае.

§ 1. Общие сведения.

В настоящей Главе мы должны расширить наши возможности при решении линейных дифференциальных уравнений: допустить использование в качестве коэффициентов уравнения некоторых функций переменной .

Оказывается, решение уравнения с переменными коэффициентами будет вполне доступно только в тех случаях, когда коэффициенты-функции будут специального вида!.. Для линейного уравнения - го порядка запись со специальными функциями-коэффициентами имеет вид:

, (1)

где - постоянные числа;– заданная функция; каждый коэффициент уравнения – степенная функция, причем степень коэффициента равна порядку производной, при которой он стоит.

Уравнение (1) называют уравнением Эйлера. Если его правая часть =0, уравнение называют однородным уравнением Эйлера, если0 – неоднородным уравнением Эйлера.

Решение линейного дифференциального уравнения Эйлера может осуществляться двумя способами:

Способ-1.Использование подстановки:

1). Подстановка: =, для >0, что равносильно: подстановке=.

2). Подстановка: =, для<0, что равносильно: подстановке=.

Способ-2.Использование подстановки:

а) - подстановкой: =, если >0;

б) - подстановкой: =, если<0.

Каждый из способов приводит уравнение Эйлера к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами.

§ 2. Однородное дифференциальное уравнение Эйлера.

Рассмотрим каждый из названных способов отдельно, построив стандартный алгоритм решения. Важно будет сравнить эти способы с точки зрения их практического применения, так как каждый из них может применяться к одному и тому же уравнению!..

2.1. Способ-1 решение однородного дифференциального уравнения Эйлера.

В соответствии с уравнением (1) предполагается, что =. Так как предложено считать переменнуюфункцией переменной, то переменнаятакже превращается в функцию переменной, то есть:=. Это значит, что уравнение (1) необходимо преобразовать так, чтобы оно отражало свойства функции=и решать уравнение для этой функции.

После того, как будет найдено решение =, нетрудно будет получить выражение для решения в виде=.

Возникает вопрос: Зачем переходить к уравнению для функции =, а затем заниматься преобразованием полученного решения=в выражение=? – Оказалось, что дифференциальное уравнение (1) для функции=мы умеем решать, а исходное уравнение не умеем!..

Изучение методов решения уравнения Эйлера наиболее удобно, если использовать дифференциальное уравнение 3-го порядка: при хорошей наглядности исследований такого уравнения легко получить обобщение для уравнений произвольного порядка!..

Справка(из математического анализа). Если=и=, то мы имеем дело со сложной функцией=. Для вычисления производных функциипо переменнойприменяют формулы:=,=,

=, и так далее. (2)

Так как в нашем случае принято =(или=), то нетрудно вычислить производные функциипо переменной(причём, как для случая >0, так и для случая<0):

=, =, =,и так далее. (3)

Формул (2) и (3) достаточно для того, чтобы начать изучение однородного уравнения Эйлера 3-го порядка: . (4)

Используя выражения (2) и (3), запишем выражения из уравнения (4):

===,

===, (5)

==.

Подставляя все выражения (5) в линейное дифференциальное уравнение Эйлера с переменными коэффициентами, получаем линейное уравнение с постоянными коэффициентами:

. (6)

Замечание: В записи уравнения (6) у всех производных опущен индекс, указывающий, что дифференцирование выполнено по переменной: для лучшей читаемости!..

Нетрудно заметить, что уравнение (6) – линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами относительно функции =. Его решение осуществляется применением стандартного алгоритма: используем результаты Главы 1.

Восхищение!Автор предложенного способа преобразования уравнения Эйлера в линейное уравнение с постоянными коэффициентами использованием сложной функции =, где=и=, изящно обошёл трудности (громоздкости), которые возникают при использовании параметрического задания функции.

► Рассмотрим способ преобразования уравнения Эйлера в линейное уравнение с постоянными коэффициентами в случае, когда функция=определена параметрически:=и=. Вычислим все необходимые производные функциипо переменной:

=,=,

=, и так далее.

В соответствии с подстановкой для случая >0:==, учитывая, что решением уравнения (4) должна быть функцияпеременной, мы станем искать решение этого уравнения в виде функции=. Это преобразует уравнение (4) в соответствии с формулами:

(7)

Подставляя выражения (7) в уравнение (4) и учитывая подстановку =, получим линейное уравнение с постоянными коэффициентами (6).

Если учесть, что для <0 подстановка должна быть:=, то формулы для вычисления производных,,записываются в виде:

(8)

Подставляя выражения (8) в уравнение (4) и учитывая подстановку =, получим линейное уравнение с постоянными коэффициентами (6).◄

Замечание: Вариант преобразования уравнения Эйлера с использованием понятия сложной функции обслуживает сразу оба случая: >0 и<0. При использовании понятия параметрического задания функции приходится рассматривать каждый из случаев отдельно. Тем не менее, следует признать, что второй вариант воспринимается более естественным!..

Запишем стандартный алгоритм решения линейного дифференциального уравнения Эйлера:

Этап : Принимаем = (или =). Учитывая результаты применения соотношений (2)(5), записываем линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (6).

Замечание: Запись уравнения (6) осуществляется какготовая технология: не следует каждый раз заново применять подстановку=, вычислять все производные и так далее!..

Этап : Применяя стандартный алгоритм решения линейного однородного уравнения (6) находим его общее решение: =, где =. Учитываем: =.

Замечание: Выражение (6) позволяет при значении=0 решать линейное дифференциальное уравнение Эйлера 2-го порядка – как частный случай!..

☺☺

Пример 10–01: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

1). Применяем подстановку: =(или=). В заданном уравнении коэффициенты равны:=1,=0,=–2,=0. Используя выражение (6) для заданного уравнения, запишем результат подстановки значений коэффициентов заданного уравнения:

, или .

2). Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами составляем характеристическое уравнение:, его корни:=0,=0,=3.

3). Строим ФСР для уравнения :=,=,=, записываем общее решение линейного уравнения:=.

4). Учитывая =, запишем общее решение исходного уравнения:=.

Ответ: общее решение:=.

Пример 10–02: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

1). Применяем подстановку: =(или=). В заданном уравнении коэффициенты равны:=1,=0,=–2,=0. Используя выражение (6) для заданного уравнения, запишем результат подстановки значений коэффициентов заданного уравнения:

, или .

2). Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами составляем характеристическое уравнение:, его корни:=0,=0,=3.

3). Строим ФСР для уравнения :=,=,=, записываем общее решение линейного уравнения:=.

4). Учитывая =, запишем общее решение исходного уравнения:=.

Ответ: общее решение:=.

Пример 10–03: Найти общее решение однородного уравнения Эйлера: .

Решение:

0). Применим подстановку: . В нашем случае:,. Используя формулу (6), получаем:, или.

1). Из характеристического уравнения имеем:=и ФСР:=,=.

2). Общее решение: =, где.

Ответ: общее решение уравнения:=, где.

☻