- •Сборник заданий
- •Оглавление
- •Часть 1. Дифференциальные уравнения (ду) 1-го порядка.
- •Часть 1. Дифференциальные уравнения (ду) 1-го порядка.
- •1.1. Для заданного семейства кривых составить дифференциальное уравнение.
- •1.2. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
- •1.3. Решить однородное дифференциальное уравнение.
- •1.4. Решить линейное дифференциальное уравнение.
- •1.5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли.
- •1.6. Решить уравнение в полных дифференциалах.
- •1.7. Используя ду 1-го порядка, найти уравнение кривой с заданными свойствами.
- •1.8. Используя ду 1-го порядка, решить задачи из физики и химии.
- •1.9. Дополнительные задачи к Части 1: уравнения Лагранжа и Клеро.
1.2. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Общие сведения. Для выполнения задания требуется знать, что решить дифференциальное уравнение – это значитнайти все его решения. Известно, что дифференциальное уравнение 1-го порядка может быть задано и в формес использованием производной, и в формес использованием дифференциалов. Так как решение (интегрирование) уравнения предполагает в любом случае использование записи, будем считать, что преобразование→всегда осуществимо (с учётом требований тождественности).
Замечание: Задания подобраны так, что выражение достаточно просто преобразуется к специальной форме записи: . (1.1)
Задача: Задано дифференциальное уравнение:. Показать, что уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найти общее решение заданного уравнения.
Общая схема решения задачи:
1). В заданном уравнении указываем признаки уравнения с разделяющимися переменными: возможность получить запись уравнения (1.1). Разделяем в заданном уравнении переменныеи. В результате получим общую запись:
. (1.2)
2). Для перехода к записи (1.2) выполнялось деление на функции: и. Если возможны равенства:и, необходимо функции:иучесть как решения исходного уравнения.
3). Интегрируя уравнение (1.2), получим общее решение исходного уравнения (1.1) в виде выражения: .
Замечание: Все Задания подобраны так, чтобы вычисление неопределённых интегралов не вызывало серьёзных затруднений!..
4). Оформляем результат решения задачи – записываем Ответ.
Пример (и образец оформления):
Пример 1.2. Решить дифференциальное уравнение.
Решение:
1). Заданное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными: в соответствии с записью (1.1) имеем ;и;. Так каки, то функции:инеобходимо учесть как решения исходного уравнения.
2). Теперь считаем, что . Разделив заданное уравнение на , получим уравнение: – переменные разделились.
3). В результате интегрирования получаем общее решение уравнения в виде или. Учитывая, что− произвольная постоянная величина, запишем общее решение в виде:. При=0 из общего решения получаем также решение.
Ответ:- общее решение (содержит также решениеy= 0);.
Задание 1.2. Решить уравнение с разделяющимися переменными:
Вар. |
Уравнение: |
Вар. |
Уравнение: |
1.2.1. |
1.2.16. | ||
1.2.2. |
1.2.17. | ||
1.2.3. |
1.2.18. | ||
1.2.4. |
1.2.19. | ||
1.2.5. |
1.2.20. | ||
1.2.6. |
1.2.21. | ||
1.2.7. |
1.2.22. | ||
1.2.8. |
1.2.23. | ||
1.2.9. |
1.2.24. | ||
1.2.10. |
1.2.25. | ||
1.2.11. |
1.2.26. | ||
1.2.12. |
1.2.27. | ||
1.2.13. |
1.2.28. | ||
1.2.14. |
1.2.29. | ||
1.2.15. |
1.2.30. |
1.3. Решить однородное дифференциальное уравнение.
Общие сведения. Для выполнения задания требуется знать, что решить дифференциальное уравнение – это значитнайти все его решения. Также важно знать, что однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка названо однородным из-за применения понятияоднородная функция. Однородные дифференциальные уравнения интересны также тем, что легко распознаются среди других дифференциальных уравнений и имеют хорошо формализованный алгоритм решения.На первом этапе изучения дифференциальных уравнений это также важно! Различают записи однородного уравнения: , где– однородная функция нулевого порядка, и, где функциииоднородные одного порядка. Каждой из этих форм записи отвечает свой стандартный алгоритм решения!..
Замечание: Так как между записями дифференциального уравнения в форме, использующей производную: и в форме дифференциалов: легко установить взаимно однозначное соответствие, любое из Заданий может быть решено любым из представленных Способов – по выбору!..
Задача: Имеем дифференциальное уравнение:. Показать, что уравнение является однородным и может быть приведено к форме записи :. Найти общее решение заданного уравнения.
Общая схема решения задачи :
1). В заданном уравнении выделяем признак однородного уравнения и записываем его в форме : при этом соблюдаем требования тождественности преобразований – не потерять очевидные решения. Для решения уравнения применяем подстановку:, то есть.
2). Так мы хотим, чтобы функция была решением уравнения (1), необходимо подставить её в исходное уравнение (по определению!)!.. Так как, после подстановкиивполучаем:, или (так как):
. (1.3)
3). Уравнение (1.3) есть уравнение с разделяющимися переменными! Исследуем равенство: . Если имеется такое число, что, то, илиесть решение уравнения .
4). Теперь примем: . Уравнение (1.3) запишем в виде:. Его интегрирование даёт общий интеграл (решение):. Будем считать, что интеграл удалось вычислить:. Если в последнем заменить, получим общий интеграл уравнения :.
5). Оформляем результат решения задачи – записываем Ответ.
Пример (и образец оформления):
Пример 1.3. Решить дифференциальное уравнение.
Решение:
1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение имеет очевидные решения: и .
2). В заданном уравнении указываем признаки однородного уравнения и записываем его в виде (скажем, автору больше нравится этот способ решения):=.
3). Примем и запишем выражение:=. Исследуем равенство:, в нашем случае – повторяет уже имеющееся.
4). Теперь примем и вычислим интеграл==.
5). Для функции получено общее решение:=, или. Учитывая, что, перепишем общее решение использованием:.
Ответ: – общее решение ДУ, также и , причём решение формально можно выделить из общего при значении .
Задача: Имеем дифференциальное уравнение :. Показать, что уравнение является однородным и может быть решено заменой. Найти общее решение заданного уравнения.
Замечание: Учитывая опыт решения Задачи , нетрудно догадаться, что и при решении Задачи может быть построен стандартный алгоритм решения однородного уравнения, который удобно применять в случаях .
Общая схема решения задачи :
1). Выделяем признаки однородного уравнения: функции иоднородные функции одногопорядка. Переписываем заданное дифференциальное уравнениев виде:
. (1.3’)
2). Для перехода к записи (1.3’) выполнялось деление на число . Нужно проверить, не является ли решением функция. Если возможны равенства:и, необходимо также функции:иучесть как решения исходного уравнения.
3). Применим замену: , то есть. Вычислим:. Подставимив уравнение (1.3’):. (1.4)
4). Так как уравнение (1.4) есть уравнение с разделяющимися переменными и, то остаётся применить общий алгоритм решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными как в разделе (1.2). Решив уравнение (1.4), используя замену, записываем решение исходного уравнения .
5). Оформляем результат решения задачи – записываем Ответ.
Пример (и образец оформления):
Пример 1.3. Решить дифференциальное уравнение.
Решение:
1). Легко заметить, что в нашем случае = и = − однородные функции 2-го порядка. Это значит, заданное уравнение – однородное уравнение. Решаем уравнение применением замены: , то есть .
2). Используя , перепишем уравнение:– уравнение с разделяющимися переменнымии. Для полученного уравнения выделим очевидные решения:=0, то естьи.
3). После этого запишем уравнение в виде: =, которое легко интегрируется:=, или, или. Учитывая, что− произвольная постоянная величина, запишем общее решение в виде:.
4). Учитывая что , запишем общее решение уравнения:. При=0 из общего решения получаем также решение.
Ответ:– общее решение (содержит также решениеy= 0); также=0.
Замечание: Каким способом решать Задание 1.3, каждый решает самостоятельно (в зависимости от личных предпочтений). Рекомендация: сравнение Общих схем и решения Задания вполне очевидно показывает, что схема решения логически проще и менее трудоёмка!..
Задание 1.3. Решить однородное уравнение:
Вар. |
Уравнение: |
Вар. |
Уравнение: |
1.3.1. |
1.3.16. | ||
1.3.2. |
1.3.17. | ||
1.3.3. |
1.3.18. | ||
1.3.4. |
1.3.19. | ||
1.3.5. |
1.3.20. | ||
1.3.6. |
1.3.21. | ||
1.3.7. |
1.3.22. | ||
1.3.8. |
1.3.23. | ||
1.3.9. |
1.3.24. | ||
1.3.10. |
1.3.25. | ||
1.3.11. |
1.3.26. | ||
1.3.12. |
1.3.27. | ||
1.3.13. |
1.3.28. | ||
1.3.14. |
1.3.29. | ||
1.3.15. |
1.3.30. |