- •2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «а» (см. Лекцию!):
- •2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «в» (см. Лекцию!):
- •1). Так как в заданном уравнении правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное!
- •2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «а»:
- •3). В нашем случае:
- •1). Так как в заданном уравнении правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное!
- •2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «а»:
- •3). В нашем случае:
- •2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «в» (см. 2-50):
- •2). Данное уравнение решаем, применяя алгоритм «Случай-1» (см. Лекцию!):
- •2). Данное уравнение решаем, применяя алгоритм «Случай-2» (см. Лекцию!):
- •2). Данное уравнение решаем, применяя алгоритм «Случай-1» (см. Лекцию!):
- •Домашнее задание
- •1). Так как в заданном уравнении правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное!
- •2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «а» (см. Лекцию!):
- •3). В нашем случае:
- •2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «в» (см. Лекцию!):
- •1). Так как в заданном уравнении правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное!
- •2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «а» (см. Лекцию!):
- •3). В нашем случае:
- •2). Данное уравнение решаем, применяя алгоритм «Случай-1» (см. Лекцию!):
- •1). Так как в заданном уравнении правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное!
- •2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «а» (см. Лекцию!):
- •3). В нашем случае:
Домашнее задание
Дома |
Л-3 |
гл.10: № 46, 51, 54, 61, 64, 173. |
6 |
Пример 1–46: Решить дифференциальное уравнение: y′ = + .
Решение:
1). Так как в заданном уравнении правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное!
2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «а» (см. Лекцию!):
3). В нашем случае:
a1. Выделяем возможные решения исходного уравнения: f(x,y0)=0. Их нет.
a2. Примем = u; получим: φ(u)=f(u)–u= u+ –u= .
a3. Проверим условие: φ(u0)= f(u0)–u0=0. Решений дополнительных нет.
a4. Учитывая, что f(u)–u≠0, запишем ДУ в виде (1): 2udu =2 .
a5. Интегрируем уравнение (1): u2= lnCx2.
a6. Записываем общее решение ДУ. Учитывая что u= , получаем: y2= x2lnCx2.
Ответ: y2= x2lnCx2 – общее решение ДУ.
Пример 2–51: Решить дифференциальное уравнение: y2dx+ x2dy = xydy.
Решение:
1). Заданное ДУ – однородное: множители при dx и dy – однородные функции 2-го порядка (одинакового!). Далее используется «стандартный алгоритм» решения уравнения, заданного в дифференциальной форм: y2dx+(x2–xy)dy =0.
2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «в» (см. Лекцию!):
a0. Выделяем возможные решения исходного уравнения f1(x,y)dx+f2(x,y)dy=0.Имеем: f1(x,y)=y2; f2(x,y) =x2–xy. Первое: f1(x,y0)=0 при каких y0=0 – ось ОХ. Второе условие: f2(x0,y)=0. Даёт решение: x=x0=0 – ось ОY.
a1. Запишем наше уравнение в виде: y′= : y′=– = . Здесь учтено: f2(x,y)=x≠ 0.
a2. Примем = u; получим выражение: φ(u)=f(u)–u= –u= .
a3. Проверим условие: φ(u0)=0: имеем u0=0 → y=0: уже участвует согласно a0.
a4. Учитывая, что теперь f(u)–u≠0, записываем уравнение: = . (1)
a5. Находим интеграл: J= =u–ln|u|.
a6. Записываем результат интегрирования уравнения (1): u–ln|u|=lnCx → u=ln(Cux). Записываем общее решение ДУ. Учитывая что u = , получаем: =Cy.
Ответ: =Cy – общее решение ДУ, также x=0, y=0 (из общего не выделяются ни при каком С).
Пример 3–54: Решить дифференциальное уравнение: xy′ =y+ xtg .
Решение:
0). Представим ДУ в виде: y′ = + tg . Деление на x≠0.
1). Так как в заданном уравнении правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное!
2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «а» (см. Лекцию!):
3). В нашем случае:
a1. Выделяем возможные решения исходного уравнения: f(x,y0)=0. Видим: y0=0 –решение ДУ.
a2. Примем = u; получим: φ(u)=f(u)–u=u+tgu–u=tgu.
a3. Проверим условие: φ(u0)= f(u0)–u0=0. Следует: u0=πn, n Z, которые являются решениями ДУ, то есть y=x∙πn, n Z – семейство прямых, проходящих через начало координат XOY. При n=0 получаем найденное ранее y0 = 0 – ось ОХ.
a4. Учитывая, что теперь f(u)–u≠0, запишем ДУ в виде (1): = .
a5. Интегрируем уравнение (1): ln|sinu|= lnCx.
a6. Записываем общее решение: sinu=Cx. Учитывая что u= , получаем: sin =Cx.
Ответ: sin =Cx – общее решение ДУ, также y=x∙πn, n Z.
Пример 4–61: Решить дифференциальное уравнение: (x+y–1)2dy=2(y+2)2dx.
Решение:
1). Заданное ДУ – специального вида: множители при dx и dy – линейные функции, их отношение образует специальную дробь: 2 . Так как прямые l1: 0x+y+2=0 и l2: x+y–1=0 пересекаются: их нормальные векторы =(0,1) и =(1,1) не коллинеарны, то имеем Случай-1 уравнения специального вида. Далее используется «стандартный алгоритм» для этого случая.