8: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Приводим уравнение (1) к стандартной форме: .

2). Вычисляем интеграл: = = . Получаем: = = , или (удобнее!) = .

Замечание: в последней записи выражения для функции знак модуля опущен, так как от функции требуется только обеспечить выполнение равенства: (это показано в Пособии при получении алгоритма решения линейного уравнения).

3). Вычисляем: = = + = .

4). Запишем общее решение уравнения: = ∙ = .

Ответ: = – общее решение.

9: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) не предлагает простейших решений вида: и .

2). Запишем уравнение (1) в виде: 2 +2 =0. Умножение на число 2 учитывает, что !

3). В результате интегрирования получим: – общее решение ДУ.

Ответ: общее решение ДУ: .

10. : Решить дифференциальное уравнение: (1+ x²)y′= 2xy+(1+ x²)². (1)

Решение: 1). Так как заданное уравнение не «стандартной формы», приводим его к стандартной форме: y′+P(x)∙y=Q(x), то есть: y′– y= x²+1. (2)

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм:

a⁰. Решение уравнения ищем в виде функции: y=u∙v.

a¹. Вычислим интеграл: – и запишем: u= .

a². Вычислим функцию v: v = +С.

a³. Запишем общее решение уравнения: y=u∙v= ∙ .

3). В нашем случае: уравнение линейное, имеет «стандартную форму»: y′+P(x)∙y=Q(x)!

a⁰. Решение уравнения ищем в виде функции: y=u∙v.

a¹. Вычислим интеграл: – =– =–ln(x²+1) → u= = x²+1.

a². Вычислим функцию v: v = +С= +С = x +С.

a³. Запишем общее решение уравнения: y=u∙v=(x²+1)∙(x +С).

Ответ: y=u∙v=(x²+1)∙(x +С) – общее решение. Ответ: – общее решение ДУ.

11: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет очевидное решение .

2). Видим, в записи (1) функции и однородные порядка 1. Учитывая, что теперь , запишем уравнение (1) в виде: = . (2)

3). Запишем: = . Вычислим интеграл = = .

4). Для функции получено общее решение: = , или . Учитывая, что , перепишем общее решение использованием : , удобнее .

Ответ: – общее решение ДУ, также x=0 (из общего не выделяется ни при каком ).

12. : Решить дифференциальное уравнение: xy′=yln , y(1)=1.

Решение: 0). Представим ДУ в виде: y′ = ln . Деление на x≠0.

1). Так как в заданном уравнении правая часть зависит только от отношения неизвестных, то это уравнение – однородное!

2). Данное уравнение решаем, применяя общий алгоритм «а» (см. Лекцию!):

3). В нашем случае:

a¹. Выделяем возможные решения исходного уравнения: f(x,y₀)=0. Их нет.

a². Примем = u; получим: φ(u)=f(u)–u=ulnu–u.

a³. Проверим условие: φ(u₀)= f(u₀)–u₀=0. Следует: невозможно!.

a⁴. Учитывая, что теперь f(u)–u≠0, запишем ДУ в виде (1): = .

a⁵. Интегрируем уравнение (1): ln|lnu–1|= lnCx, или lnu–1=Cx.

a⁶. Записываем общее решение. Учитывая что u= , получаем: ln =Cx+1.

a⁷. Найдем частное решение: ln =C1+1 → C=–1 . Частное решение: ln =1–x.

Ответ: Общее решение: ln =Cx+1; частное решение: ln =1–x.

13: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет решения в виде функций: – прямые, параллельные оси , и , то есть ось .

2). Теперь воспользуемся тем, что переменные в уравнении разделяются. Так как решения и учтены, примем теперь и , и запишем уравнение в виде:

. (2)

3). Используя простейшие приёмы вычисления неопределённых интегралов, проинтегрируем уравнение (2). Получаем общее решение уравнения (2):

→ . (3)

Ответ: общее решение ДУ ; в данном случае решение исходного уравнения можно получать из общего при значении =0; решения также формально можно получать из общего решения.

14. : Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение: 1). Уравнение (1) соответствует стандартной форме: и .

2). Вычисляем интеграл: = = и записываем выражение: = = .

3). Вычисляем: = = + = + = + .

4). Запишем общее решение уравнения: = ∙ .

Ответ: = ∙ – общее решение.

16. : Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение: 1). Уравнение (1) соответствует стандартной форме: и .

2). Вычисляем интеграл: = = и записываем выражение: = = .

3). Вычисляем: = = + = + = + .

4). Запишем общее решение уравнения: = ∙ .

Ответ: = ∙ – общее решение.

17:Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Преобразуем заданное уравнение к виду: = . Известно, что такое уравнение легко приводится к уравнению с разделяющимися переменными!

2). Примем и вычислим производную , то есть . В нашем случае получаем , что есть уравнение с разделяющимися переменными!

3). Уравнение имеет решение в виде функции: . Учитывая обозначение , запишем решение – прямая линия.

Замечание: Увидеть решение непосредственно из исходного уравнения было бы совсем непросто!

4). Пусть теперь . Запишем уравнение в виде: , или (для удобства!) в виде: . (2)

5). Интегрирование уравнения (2) не составит труда, даже на начальном этапе освоения неопределённого интеграла → . (3)

Ответ: общее решение ДУ ; в данном случае решение можно получить формально из общего при значении =0; запишем общее решение и в виде , из которого решение получается из общего при значении =0.

18: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет очевидное решение .

2). Видим, в записи (1) функции и однородные порядка 1. Учитывая, что теперь , запишем уравнение (1) в виде: = . (2)

3). Запишем: = . Вычислим интеграл = = .

4). Для функции получено общее решение: = , или . Учитывая, что , перепишем общее решение использованием : , удобнее .

Ответ: – общее решение ДУ, также x=0 (из общего не выделяется ни при каком ).

19: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет очевидное решение =0.

2). Умножим исходное уравнение (1) на дифференциал . Уравнение (1) перепишем в дифференциальной форме: . (2)

3). Нетрудно заметить, что уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными. Так как решение уже учтено, теперь примем, что и перепишем уравнение (2):

=2 . (3)

4). Интегрируем (3): =2 или → . – общее решение дифференциального уравнения.

Ответ: общее решение ДУ ; хотя при получении общего решения произвольная постоянная величина не должна принимать значение 0, формально из него можно получить решение исходного уравнения при значении .