18. Пружинный маятник. Выведите дифференциальное уравнение его свободных незатухающих колебаний и запишите его решение.

Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F=-kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника

Выведение: Если можно пренебречь силами сопротивления движению и трением, то при выведении системы из положения равновесия на груз будет действовать только сила упругости пружины.

Запишем уравнение движения груза, составленное по 2-му закону Ньютона:

Спроектируем уравнение движения на ось X, при этом учтем, что сила упругости пропорциональна смещению из положения равновесия и направлена в сторону ему противоположную, а ускорение - это вторая производная координаты по времени. Тогда:

(1). Преобразуем выражение (1) к виду

Введем обозначение   (частота собственных незатухающих колебаний или собственная частота), окончательно получим (2). Выражение (2) - это дифференциальное уравнение свободных гармонических незатухающих колебаний.

Решение уравнения (2) будем искать в виде: (3). Подставим (3) в (2) получим

Из полученного выражения найдем значения   : (4) где  Тогда .

19. Математический и пружинный маятники. Вывод формулы для расчета периодов их свободных незатухающих колебаний.

Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, которая подвешена на нерастяжимой невесомой нити, и которая колеблется под действием силы тяжести. Хорошее приближение математического маятника есть небольшой тяжелый шарик, который подвешен на длинной тонкой нити.

Вывод: На тело действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Равнодействующая этих сил имеет две составляющие: тангенциальную, меняющую ускорение по величине, и нормальную, меняющую ускорение по направлению (центростремительное ускорение, тело движется по дуге). Т.к. угол мал, то тангенциальная составляющая равна проекции силы тяжести на касательную к траектории:  . Угол в радианах равен отношению длины дуги к радиусу (длине нити), а длина дуги приблизительно равна смещению (x »s):  .Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движения  .

Видно, что   или   - циклическая частота при колебаниях математического маятника.

Период колебаний   или   (формула Галилея).  Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F=-kx, где k — жесткость пружины. В вертикальном положении на груз на пружине действуют сила тяжести и сила упругости пружины. Под действием силы тяжести пружина растягивается на х₁, а затем мы отклоняем его от этого положения на х. Тогда согласно второму закону Ньютона, учитывая знаки проекций, получим:  . Но  , тогда:  .

 

Или   - ускорение тела, колеблющегося на пружине, не зависит от силы тяжести, действующей на это тело. Сила тяжести только приводит к изменению положения равновесия.

Выразим ускорение: . Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движения  . Видно, что   или   - циклическая частота при колебаниях пружинного маятника. Период колебаний   или   (формула Гюйгенса).