29. Что такое волна? Уравнение бегущей плоской гармонической волны.

Волна́ — изменение состояния среды или физического поля (возмущение), распространяющееся либо колеблющееся в пространстве и времени или в фазовом пространстве. Другими словами, «…волнами или волной называют изменяющееся со временем пространственное чередование максимумов и минимумов любой физической величины — например, плотности вещества, напряжённости электрического поля, температуры^[1]».

Уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид (154.1)

откуда следует, что (х, t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (154.1) есть уравнение бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положитель­ного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид (154.2)

где А = const — амплитуда волны,  — циклическая частота, ₀ — начальная фаза вол­ны, определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t, [ (t—x/v)+ ₀] — фаза плоской волны.

30. Что называют волной? Продольные и поперечные волны. Запишите волновое уравнение и уравнение плоской гармонической бегущей волны. Различаются ли уравнения для продольной и поперечной волн? Дайте определения длины волны и волнового числа.

Волнами или волной называют изменяющееся со временем пространственное чередование максимумов и минимумов любой физической величины, например, плотности вещества, напряжённости электрического поля, температуры. Более правильное определение: Волна — это явление распространения в пространстве с течением времени возмущения физической величины.

Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и технике, выделяются следующие их типы: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны. Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и попереч­ные. В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных — в плоскостях, перпендикулярных направлению распростране­ния волны.

Волновое: Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением — дифференциальным уравнением в частных производных или (154.9), где v — фазовая скорость, — оператор Лапласа. Решением урав­нения (154.9) является уравнение любой волны. Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид

Уравнение плоской волны: В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид         

Длина волны: Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны  (рис. 220). Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебания за период, т. е. или, учитывая, что T= 1/, где  — частота колебаний…

Волновое число: величина, связанная с длиной волны λ соотношением: k = 2π/λ (число волн на длине 2π). В спектроскопии В. ч. часто называют величину, обратную длине волны (1/λ). Для характеристики волн используется волновое число

31. Уравнение плоской гармонической волны. Фазовая и групповая скорость волны. Получите выражение, связывающее фазовую и групповую скорости. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид ;   (154.4)    

Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (154.4) только знаком члена kx. Основываясь на формуле Эйлера (140.7), уравнение плоской волны можно записать в виде Предположим, что при волновом процессе фаза постоянна, т. е. (154.5). Продифференцировав выражение (154.5) и сократив на , получим откуда (154.6). Следовательно, скорость v распространения волны в уравнении (154.6) есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью.

Групповая скорость: За скорость распространения этой негармонической волны (волнового пакета) принимают скорость перемещения максимума амплитуды волны, рассматривая тем самым максимум в качестве центра волнового пакета. При условии, что td —xdk = const, получим

(155.1). Эта скорость и есть групповая скорость.

Связь: Рассмотрим связь между групповой (см. (155.1)) и фазовой v= /k (см. (154.8)) скоростями. Учитывая, что k=2/ (см. (154.3)), получим

или