10. Запасы устойчивости по амплитуде и фазе.

Запасы устойчивости

В условиях эксплуатации параметры системы по тем или иным причинам могут меняться в определенных пределах (старение, температурные колебания и т.п.). Эти колебания параметров могут привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости(-1, j0). Степень этого удаления называют запасом устойчивости.

Различают запас устойчивости по фазе и усилению. Запасы устойчивости определяются на двух частотах: частоте среза ω_с и критической частоте ω_кр . На частоте среза амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы  |W(jω)| равна единице, а на критичес­кой частоте фазо-частотная характеристика этой системы φ(ω) принимает значение, равное -π.

Запас устойчивости по фазе Δφ показывает, насколько фазо-частотная характеристика разомкнутой системы на частоте среза ω_с отлича­ется от  -π  (рис. 3.9):

Δφ =  π – .

Величина запаса устойчивости по усилению может быть определена на частоте ω_кр, как разность:

      =  1 – |W(jω_кр)|,

либо как отношение

α  =  1/ |W(jω_кр)

Во втором случае величина запаса устойчивости по усилению определяет,  во сколько раз необходимо увеличить коэффициент усиления, чтобы система оказалась на границе устойчивости.

Системы, годографы W(jω) ко­торых пересекают вещественную ось только справа от точки с координатами (-1, j0) (рис. 3.10, а), называют аб­солютно устойчивыми. В таких системах неустойчивость может наступить только при увеличении коэффициента усиления.

Если годограф частотной характеристики W(jω) разомкну­той системы пересекает вещественную ось и слева от точ­ки с координатами (-1, j0), то систему называют услов­но устойчивой (рис. 3.10, б). Неустойчивой такая система может быть как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления.

Для нормальной работы САУ необходимо, что­бы запас устойчивости по усилению α был не менее двух, а запас устойчивости по фа­зе  –  от 0,5 до 1 рад.

Оценка устойчивости

Оценку устойчивости замкнутой САУ можно осуществлять по логарифмическим амлитудно-  и фазо-частотным характеристикам системы в разомкнутом состоянии: L(ω)  и φ(ω). В том случае, когда годограф W(jω) не имеет точек пересечения с вещественной осью слева от точки с коор­динатами (-1, j0), для устойчивости замкнутой сис­темы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие 

На рис. 3.11 приведены ЛАХ и ФЧХ устойчивых разомкнутых системы, одна из которых при замыкании остается устойчивой (рис. 3.11, а), а другая – становится неустойчивой (рис. 3.11, б).

По L(ω)  и φ(ω)  разомкнутой системы можно определить за­пасы устойчивости: запас по фазе Δφ отсчитывают по фазо-частотной характеристике на частоте среза ω_с, а запас устойчивости по усилению  ΔL равен зна­чению ЛАХ на критической частоте ω_кр, взятому с обратным знаком, т.е. ΔL =  |L(ω_кр)| (см. рис. 3.11, а).

Если ω_с = ω_кр, то система находится на границе устойчивости.

Если при некотором значении коэффициента усиления (k) замкнутая система устойчива с запасом устойчивости по усилению равным ΔL, то величина критического коэффициента усиления k_кр может быть вычислена  по формуле:

20lg k_кр  =  20lg k + ΔL.

Для оценки устойчивости условно устойчивых САУ реальных технических систем, имеющих обычно достаточно сложную форму, также можно воспользоваться понятием перехода. 

ω_с < ω_кр.

При этом переходом называется пересечение графика φ(ω) с горизонтальной прямой  -π, при условии, что на частоте, при которой φ(ω) =  – π,  ЛАХ положительна.

Правило определения знака перехода противоположно рассмотренному для W(jω): переход графика φ(ω) через уровень(- π) считается положительным, если при увеличении частоты ω пересечение этого уровня происходит снизу вверх, в противном случае переход считается отрицательным. Обозначим число положительных переходов m₊ , а число отрицательных переходов   m_- .

В этом случае формулировка критерия устойчивости Найквиста: система в замк­нутом состоянии становится устойчивой, если разность между числом положительных и отрицательных переходов равна m/2, т.е.m₊  m= m/2,                      (3.23)

где m – число правых полюсов разомкнутой системы.

Если число положительных переходов φ(ω) равно числу отрицательных, то система, устойчивая в разомкнутом состоянии , остается устойчивой при замыкании. На рис. 3.12 в качестве примера приведены логарифмические амлитудно-  и фазо-частотные характеристики неустойчивой разомкнутой  системы, имеющей два правых полюса . При замыкании такая система становится устойчивой, так как m₊ = 1, а  m_- = 0, и условие (3.23) выполняется

Рекомендации для обеспечения запаса устойчивости, которые следуют из практики проектирования САУ:

        во-первых, для того чтобы в системе были обеспечены необ­ходимые запасы устойчивости, наклон ЛАХ в диапазоне частот, в котором расположена частота среза, должен быть равен -20 дБ/дек.  Если в указанном частотном диапазоне наклон L(ω)  равен -40 дБ/дек,  обеспечить необходи­мый запас устойчивости по фазе затруднительно. При наклоне 0 дБ/дек система обладает чрезмерно большим запасом устойчивости по фа­зе и становится передемпфированной с длитель­ным переходным процессом:

        во-вторых, запас устойчиво­сти системы по фазе зависит от диапазона частот, в котором ЛАХ разомкнутой системы в области частоты среза имеет наклон -20 дБ/дек. Чем шире этот диапазон частот, тем выше запас устойчивости по фазе и наоборот.