7. Частотные методы исследования динамических систем и устройств.
В теории автоматического управления, метод оценки динамических свойств системы автоматического управления, основанный на использовании её частотных характеристик выражающих установившуюся реакцию системы на входной гармонический сигнал.
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала:
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) показывает, насколько фаза входного сигнала отличается от фазы выходного сигнала:
Амплитудная фазовая частотная характеристика (АФЧХ) является характеристикой, косвенно определяющей зависимость амплитуды и фазы от частоты. АФЧХ может быть получена из передаточной функции системы путём подстановки вместо P на jw (то же самое, что и i – мнимая единица). P jw
U(w) – ВЧХ – вещественная частотная характеристика.
v(w) – МЧХ – мнимая частотная характеристика.
Логарифмической АЧХ (ЛАЧХ) является АЧХ, выполненная в логарифмическом масштабе.
L(w) = 20lgA(w) [дБ]
Логарифмическая ФЧХ (ЛФЧХ) совпадает с ФЧХ за исключением того, что частотная ось выполняется в логарифмическом масштабе.
Частотные характеристики строят либо по комплексной передаточной функции, полученной из дифференциального уравнения системы, либо по результатам измерения отношения амплитуд и фазового сдвига между сигналами при различной частоте. Частотные характеристики (АФХ или ЛАЧХ и ЛФЧХ) используют для исследования устойчивости систем автоматического управления и качественных показателей переходных процессов в ней.
8. Устойчивость, управляемость и наблюдаемость динамических систем и способы их оценки
Устойчивость
Поверхности:
Под устойчивостью понимают способность системы, будучи выведенной из состояния равновесия, возвращаться в это же состояние, т.е. координата системы должна стремиться к нулю.
y = yx + yf + yсв
Если входной сигнал х=0 и возмущающее воздействие f=0, то устойчивость системы зависит только от внутренних свойств объекта.
y = yсв → 0, х=0, f=0
Исходя из принятого нами х=0 и f=0, уравнение, описывающее состояние объекта будет представлено в следующем виде:
Данное уравнение можно решить путём замены его на характеристическое уравнение. При решении характеристического уравнения возможны три вида корней:
вещественные различные корни;
вещественные одинаковые корни;
комплексно-сопряженные корни.
На основе анализа этих корней можно сделать заключение об устойчивости на основании теоремы Ляпунова.
Теорема Ляпунова:
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все вещественные части корней характеристического уравнения были отрицательными.
Следствия теоремы:
Если хотя бы 1 корень характеристического уравнения положительный при отрицательных остальных корнях, то система неустойчива.
Если бы хотя бы один корень равен нулю, а все остальные отрицательны, то система находится на границе устойчивости.
Критерии устойчивости
Если система описывается ДУ высокого порядка, то решение ДУ сопряжено с достаточно большими трудностями. Поэтому необходимо стало придумывать некий критерий, по которому определять устойчивость системы, не решая ДУ. Выделим вида критериев устойчивости:
Алгебраические
Частотные
Алгебраические критерии устойчивости
Критерий устойчивости Гурвица
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы n определителей матрицы Гурвица имели одинаковый знак (например, >0), где n – порядок ДУ.
Определители выше пятого порядка вычисляются уже с достаточно большим трудом. Поэтому данный метод ограничен порядком ДУ - не выше 5-го.
Критерий устойчивости Рауса
Критерий Рауса основан на критерии Гурвица, но здесь не требуется вычисления определителей, а коэффициенты сводятся в некую таблицу, и по анализу коэффициентов делается заключение об устойчивости.
Вспомог коэфф |
№ст |
Номер столбцов |
|||
1 |
2 |
3 |
… |
||
- |
1 |
a11 = a0 |
a12= a2 |
a13= a4 |
… |
- |
2 |
a21 = a1 |
a22 = a3 |
a23 = a5 |
… |
r3 = a11/a21 |
3 |
a31 = a12-r3a22 |
a32 = a13-r3a23 |
… |
… |
r4 = a21/a31 |
4 |
a41 = a22-r4a32 |
… |
… |
… |
… |
. |
… |
… |
… |
… |
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты в первом столбце имели одинаковый знак (например, >0).
Количество отрицательных коэффициентов в первом столбце – число правых корней. Количество нулей в первом столбце – это число нулевых корней. Число нулей в середине таблицы – число пар чисто мнимых корней.
Метод Рауса не требует сложных мат. Операций при любом порядке ДУ, и поэтиому порядком ДУ не ограничен.
Частотные критерии устойчивости