12.Дискретные системы и методы их исследования.

Основные понятия. Терминология. Квантование сигналов.

Дискретные САУ – это системы, в которых содержится одно или несколько звеньев, производящих квантование непрерывного сигнала в дискретный. Процесс преобразования непрерывной величины в дискретную называют квантованием. Различают квантование:

по времени значения непрерывного сигнала выделяются в виде дискретных сигналов через равные промежутки времени , при этом уровни сигнала могут принимать произвольные значения

по уровню осуществляется преобразование непрерывного сигнала в дискретный в произвольные моменты времени с выделением значений непрерывного сигнала в момент пересечения им равноотстоящих уровней (рис.2).

смешанном квантовании происходит преобразование непрерывного сигнала в дискретный через равные временные промежутки, но при этом выделяется ближайший уровень непрерывного сигнала (рис.3).

В зависимости от вида квантования различают системы:

*Релейные – квантование по уровню.

*Импульсные – по времени

*Цифровые – по времени и по уровню.

Все релейные системы являются существенно нелинейными.

Импульсные системы (содержащие импульсный элемент) можно рассматривать как линейные.

Импульсный элемент – устройство, осуществляющее квантование сигнала по времени. Выходной сигнал импульсного элемента представляет собой последовательность импульсов. При прямоугольной форме импульса его можно охарактеризовать следующими основными параметрами : высотой, или амплитудой, импульса А; длительностью, или шириной импульса ; периодом повторения импульсов Т; паузой между соседними импульсами Т- ; скважностью .

Если имеем систему

то

Единичный прямоугольный импульс можно представить в виде разложения двух непрерывных функций

Введем в рассмотрение идеальный импульсный элемент, у которого функция формы импульса есть дельта-функция .

Расчленим условно импульсный элемент на две части:

-простейший импульсный элемент; ()

-формирователь импульса (ФИ).

первый дает решетчатую функцию

Второй придает каждому импульсу определенную длительность и форму.

.

Процесс преобразования квантовых сигналов в последовательность импульсов называется импульсной модуляцией.

В зависимости от типа модулятора системы делятся на линейные (АИМ) и нелинейные (ШИМ, ЧИМ)

Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ) (амплитуда импульса пропорциональна входному сигналу);

Широтно-импульсная модуляция (ШИМ) (ширина импульса пропорциональна входному сигналу);

Фазо-импульсная модуляция (ФИМ) (фаза импульса пропорциональна входному сигналу).

Длительность (0<<1) Величина импульса x[nT]

.

Рассмотрим амплитудно-импульсную модуляцию.

Период следования импульсов – период квантования.

- дискретное время, которое может быть размерным и безразмерным

- целая часть от .

Функция - решетчатая функция (функция в конкретных точках – узлах).)

(писать дальше по усмотрению)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Z–преобразование. Модифицированное Z – преобразование. Обратное Z – преобразование

Метод Z – преобразования нашел широкое применение при исследовании импульсных и цифровых систем управления. Если поведение системы достаточно полно описывается только в дискретные моменты времени, то наиболее удобным математическим аппаратом для анализа и синтеза является аналог преобразования Лапласа – дискретное преобразование Лапласа или т.н. Z – преобразование.

Z – преобразованием решетчатой функции называется функция комплексного аргумента Z, определяемая выражением

,(1)

Это выражение может быть получено следующим образом. Если предыстория системы относительно учитывается соответствующими граничными условиями, то допустимо полагать, что непрерывная функция времени при t<0. В этом случае, как известно, функция может быть заменена изображением по Лапласу (одностороннее преобразование)

(2)

Взяв конечный интервал времени равным периоду дискретности ( ) и представив текущее время в виде последовательности можно в выражении (2) интеграл заменить суммой, а величину dt периодом квантования :

. (3)

Выражение (3) представляет собой дискретное преобразование Лапласа. Предел этого выражения при даст преобразование Лапласа непрерывной величины (2).

Если обозначить , то

(4)

(Обозначив

При этом Z-преобразование, как следует из формулы (1), отличается от дискретного преобразования Лапласа только множителем Т, т.е.

Итак, преобразование Лапласа для дискретной функции привело к бесконечной сумме. Бесконечная сумма является функцией комплексного переменного .

Операция суммирования носит название прямого дискретного преобразования Лапласа (или Z-преобразования) для решетчатой функции в функцию комплексного переменного Z. Эта операция кратко обозначается как И указывает, что есть Z – изображение решетчатой функции или, короче, . Соответственно является оригиналом . Изображение существует, если (1) сходится.

Все функции времени, имеющие одинаковые значения в точках t=nT оси времени, обладают одинаковыми Z-преобразованиями . Это означает, что связь между функцией времени и соответствующим ей Z-преобразованием не является взаимно однозначной. Функция характеризует только последовательность чисел , но не позволяет судить о поведении оригинала внутри интервалов.

Модифицированное Z-преобразование.

Если значение Z-изображений необходимо знать не только в дискретные моменты времени t=nT, но и в любые другие моменты времени, смещенные на  по отношению к моментам квантования, то можно использовать модифицированное Z-преобразование: (5)

где  - действительный независимый параметр, принимающий произвольное значение от нуля до единицы. Модифицированное Z-изображение решетчатой функции либо определяется из формулы (5), либо следует использовать таблицы для модифицированного Z-преобразования.

Обратное Z-преобразование позволяет определить решетчатую функцию-оригинал или по ее Z-преобразованию и сокращенно записывается в виде

или

При заданной существует три способа нахождения решетчатой функции: в виде бесконечного ряда, разложением на элементарные дроби и при помощи интеграла обратного преобразования.

Первый метод позволяет непосредственно получить числовую последовательность . Если представляет собой рациональную функцию, т.е. отношение двух многочленов, то разделив многочлен числителя на многочлен знаменателя, получим бесконечный ряд Лорана. Числовые значения коэффициентов членов ряда определяют дискреты решетчатой функции . Указанный способ позволяет определять сколь угодно большое число значений n. При выполнении операции деления многочлены числителя и знаменателя следует записывать по возрастающим степеням ( ).

Пример 1.

Дано:

Определить:

Решение:

Путем непосредственного деления получим

Отсюда

;

Второй метод основан на разложении функции на элементарные дроби и использовании таблицы преобразования. Непосредственно функция на элементарные дроби не раскладывается, так как фигурирующие в таблице функции от z имеют в числителе множитель z.

Пример 2.

Дано:

Определить:

.

Решение:

Разложим на элементарные дроби:

Из таблицы соответствия получим:

Третий метод нахождения решетчатой функции основан на интеграле обратного преобразования:

или

В этом случае интегрирование ведется по окружности , где с – абсцисса абсолютной сходимости. Окружность, по которой ведется интегрирование, охватывает все особые точки подынтегрального выражения. Формулы обратного преобразования мало применяются.

Использование аппарата Z-преобразования позволило развить теорию линейных дискретных САУ, до некоторой степени аналогичную теории линейных систем непрерывного действия.

W – преобразование. Определение и свойства.

Для анализа и синтеза непрерывных САУ широко применяется частотный метод, основанный на построении логарифмических частотных характеристик. Простота и наглядность логарифмического частотного метода исследования непрерывных САУ вызывает естественное стремление использовать метод ЛЧХ для анализа и синтеза дискретных систем, возможное на основе w-преобразования.

Комплексная переменная w связана с комплексной переменной соотношением

(6)

Соотношение заданное в форме (6), получило название w-преобразование. Рассмотрим это преобразование подробнее, для чего запишем его в форме

(7)

изменяя переменную р вдоль мнимой оси плоскости Р т.е. полагая , найдем

Правая часть этого равенства – величина мнимая, поэтому и левая часть будет мнимой величиной. Вводя обозначение , получим

или (8)

Переменную называют псевдочастотой, так как это безразмерная величина. Реальная частота связана с псевдочастотой соотношением

(9)

Для исследования импульсных и цифровых систем в ряде случаев более удобна размерная псевдочастота , которая связана с псевдочастотой зависимостью

(10)

Тогда (11)

Переменную  называют абсолютной псевдочастотой. Из выражения (10) следует, что при <<2 абсолютную псевдочастоту  в расчетах и при построении ЛЧХ можно заменять действительной частотой .

Соотношение (6) может быть представлено с учетом (11):

(12)

Поясним смысл преобразования (6). Использование подстановки при замене р на позволяет отобразить левую полуплоскость плоскости Р внутрь круга единичного радиуса плоскости Z. Функция является периодической функцией с периодом , поэтому для обхода всей окружности единичного радиуса достаточно изменять частоту в интервале или в интервале . При этом отрезок мнимой оси от до преобразуется в окружность единичного радиуса (рис.1, а, б). С помощью соотношения (6) возможно отображение всех точек Z-плоскости, расположенных внутри круга единичного радиуса, в соответствующие точки левой полуплоскости W. Подобные отображения получили название конформных отображений (рис.1, б, в).

При изменении частоты в интервале абсолютная псевдочастота принимает все значения, принадлежащие интервалу . На рис.2 представлен график значений псевдочастоты. Операция W-преобразования в виде

конформно отображает левую полуполосу - , Re q<0 плоскости q (иначе р) на левую полуплоскость плоскости W, причем мнимая положительная полуось плоскости W является образом отрезка мнимой положительной полуоси плоскости q длиной . Начало этого отрезка находится в начале координат.

Понятие псевдочастоты позволяет строить так называемые логарифмические псевдочастотные характеристики дискретных САУ.