Вопрос 15.

Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат записывается следующим образом: 

ax + by + cz + d = 0.

Если известно, что плоскость проходит через точку с координатами (x₀, y₀, z₀), то ее уравнение можно привести к виду 

a (x – x0) + b (y – y0) + c (z – z0) = 0.

Взаимное расположение двух плоскостей

Для двух плоскостей возможны следующие варианты взаимного расположения: они параллельны или пересекаются по прямой линии.

Из стереометрии известно, что две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Это условие называют признаком параллельности плоскостей.

Если две плоскости являются параллельными, то они пересекают какую-то третью плоскость по параллельным прямым.

Угол между двумя плоскостями легко вычисляется по формуле скалярного произведения. Если эти плоскости задаются уравнениями a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 иa₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0, то угол между плоскостями равняется 

Расстояние от точки до плоскости Пусть дана плоскость A·x + B·y + C·z + D = 0 и точка M₀(x₀, y₀, z₀). Так как точка M₀(x₀, y₀, z₀) не лежит на плоскости, то A·x₀ + B·y₀ + C·z₀ + D = α ≠ 0. Выберем произвольную точку M(x, y, z) на плоскости. В этом случае имеем

A·x + B·y + C·z + D = 0.

Вычитая из первого соотношения второе, получим

A·(x - x₀) + B·(y - y₀) + C·(z - z₀) = α.

Последнее соотношение представляет собой скалярное произведение нормального вектора плоскости и вектора M₀M в координатной форме. По определению скалярного произведения имеем   или  . Или окончательно 

Вопрос 16.

Прямая в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей --   и   , то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений

(11.11)

И наоборот, точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, образуют прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей, чьи уравнения образуют эту систему.

http://webmath.exponenta.ru/s/pyartli1/node24.htm

Общее урав прямой

Всякое уравнение первой степени относительно х и у, т.е. уравнение вида Ax+By+C=0

(где А, В и С- постоянные коэффициенты, причем А²+В²≠0) определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой.

Частные случаи:

1. С=0; А≠0; В≠0. Прямая, определяемая уравнением Ах+Ву=0, проходит через начало координат.  2. А=0, В≠0; С≠0. Прямая, определяемая уравнением Ву+С=0 (или у=b, где  ), параллельна оси (ох).  3. В=0; А≠0; С≠0. Прямая, определяемая уравнением Ах+С=0 (или  ), параллельна оси Оу.  4. В=С=0; А≠0. Прямая определяемая уравнением Ах=0 (или x=0 поскольку А≠0), совпадает с осью Оу.  5. А=С=0; В≠0. Прямая, определяемая уравнением Ву=0 (или у=0, поскольку В≠0), совпадает с осью Oх.

Если в общем уравнении прямой В≠0, то, разрешив его относительно у, получим уравнение вида y=kx+в (здесь   ). Его называют уравнением с угловым коэффициентом поскольку где -угол, образованный прямой с положительным направлением оси Oх. Свободный член уравнения в равен ординате точки пересечения прямой с осью Oу.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

 

Пусть в пространстве заданы две точки M ₁ ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и M₂ ( x ₂, y ₂ , z ₂ ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

 

 

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

 

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

 

Определение. Каждый ненулевой вектор  ( α₁ , α₂ ), компоненты которого удовлетворяют условию А α₁ + В α₂ = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

 Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором  (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

 Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

 1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

 Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:

 х + у - 3 = 0

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией наплоскость. Пусть прямаяи плоскость заданы уравнениями

Рассмотрим векторы   и  . Если угол между ними острый, то он будет  , где φ – угол между прямой и плоскостью. Т огда  .

Если угол между векторами   и   тупой, то он равен  . Следовательно  . Поэтому в любом случае  . Вспомнив формулу вычисления косинуса угла между векторами, получим  .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой   и нормальный вектор  плоскости коллинеарны, т.е.  .

Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы   и   перпендикулярны.