- •Вопрос 1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
- •Вопрос 2.
- •I. Минор
- •II. Алгебраические дополнения
- •Вопрос 4. Определители любого(Высших??) порядка. Свойства определителей.
- •Вопрос 5.
- •Матрица 2х2
- •С помощью матрицы алгебраических дополнений
- •Пример решения неоднородной слау
- •Вопрос 6.
- •Вопрос 8.
- •2. Простейшие операции над векторами
- •Вопрос 9.
- •Вопрос 10.
- •Вопрос 11.
- •Вопрос 12.
- •Вопрос 13.
- •Свойства обратной матрицы
- •Вопрос 14.
- •Вопрос 15.
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Вопрос 16.
- •Вопрос 17. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
- •Вопрос 18. Прямая на плоскости. Общее урав прямой в вопросе 16. Взаимное расположение двух прямых
- •Вопрос 19.20,21,22 (общее)
- •Вопрос 23
- •Вопрос 24.
- •Бесконечно малая величина
- •Бесконечно большая величина
- •Вопрос 25.
- •Вопрос 26.
- •Вопрос 27.
- •Вопрос 28. Свойства бесконечно малых функций
- •Вопрос 29. Второй замечательный предел:
- •Вопрос 30.
- •Вопрос 31. (32)
- •Вопрос 32. (33) Приращение функции f(X) в точке X — функция обычно обозначаемая Δxf от новой переменной Δx определяемая как
- •Вопрос 33 (34). Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •Вопрос 34 (35) Условия монотонности функции
- •Вопрос 35 (36) Основные правила дифференцирования
- •Вопрос 36 (37) Экстремум функции
- •Вопрос 37 (38)
- •Вопрос 38 (39) Непрерывность функций
- •Вопрос 39 (40).
- •Вопрос 40 (41).
- •Вопрос 41 (42)
- •Вопрос 42 (43)
- •Вопрос 43 (44) Теорема Лагра́нжа в теории групп гласит:
- •Вопрос 45 (46) Производные и дифференциалы высших порядков
- •Вопрос 47 (48) 1.А)Найти одз и точки разрыва функции.
Вопрос 9.
п.1. Базис на прямой, на плоскости и в пространстве.
Определение. Любое конечное множество векторов называется системой векторов.
Определение. Выражение , где называется линейной комбинацией системы векторов , ачисла называются коэффициентами этой линейной комбинации.
Пусть L, Р и S – прямая, плоскость и пространство точексоответственно и . Тогда – векторные пространствавекторов как направленных отрезков на прямой L, на плоскости Р и впространстве S соответственно.
Определение. Базисом векторного пространства называется любой ненулевой вектор , т.е. любой ненулевой вектор коллинеарныйпрямой L: и .
Обозначение базиса : – базис .
Определение. Базисом векторного пространства называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов пространства .
рис.1.
, где , – базис .
Определение. Базисом векторного пространства называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов (т.е. не лежащих в одной плоскости) пространства .
рис.2.
– базис .
Замечание. Базис векторного пространства не может содержать нулевого вектора: в пространстве по определению, в пространстве двавектора будут коллинеарные, если хотя бы один из них нулевой, впространстве три вектора будут компланарные, т.е будут лежать в одной плоскости, если хотя бы один из трех векторов будет нулевой.
п.2. Разложение вектора по базису.
Определение. Пусть – произвольный вектор, – произвольная система векторов. Если выполняется равенство
, (1)
то говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора по базису . Коэффициенты линейной комбинации называются в этом случае координатами вектора относительно базиса .
Теорема. (О разложении вектора по базису.)
Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.
Док-во http://fxdx.ru/page/razlozhenie-vektora-po-bazisu
1) Существует взаимно однозначное соответствие между множествомвекторов векторного пространства и множеством действительныхчисел R.
2) Существует взаимно однозначное соответствие между множествомвекторов векторного пространства и декартовым квадратом множества действительных чисел R.
3) Существует взаимно однозначное соответствие между множествомвекторов векторного пространства и декартовым кубом
Док-во http://fxdx.ru/page/razlozhenie-po-bazisu-prodolzhenie
Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.
где — координаты вектора.
Свойства
Равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты
Координаты коллинеарных векторов пропорциональны:
Подразумевается, что координаты вектора b не равны нулю. Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат:
При умножении вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число:
При сложении векторов соответствующие координаты векторов складываются:
Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат:
Векторное произведение двух векторов можно вычислить с помощью определителя матрицы
Где Аналогично, смешанное произведение трех векторов можно найти через определитель
Линейные операции с векторами в координатной форме записи.
Пусть – базис пространства и – два его произвольных вектора. Пусть и – записьэтих векторов в координатной форме. Пусть, далее, – произвольное действительное число. В этих обозначениях имеет место следующая теорема.
Теорема. (О линейных операциях с векторами в координатной форме.)
1) ;
2) .
Другими словами, для того, чтобы сложить два вектора нужно сложить их соответствующие координаты, а чтобы умножить вектор на число, нужно каждую координату данного вектора умножить на данное число.
Доказательство. Так как по условию теоремы , , то используя аксиомы векторного пространства, которым подчиняются операции сложения векторов и умножения вектора на число, получаем:
.
Отсюда следует .
Аналогично доказывается второе равенство.
Теорема доказана.