Вопрос 27.

ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ

В БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННОЙ ТОЧКЕ

До сих пор мы рассматривали пределы для случая, когда переменная величина x стремилась к определенному постоянному числу.

Будем говорить, что переменная x стремится к бесконечности, если для каждого заранее заданного положительного числа M (оно может быть сколь угодно большим) можно указать такое значение х=х₀, начиная с которого, все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству |x|>M.

Например, пусть переменная х принимает значения x₁= –1, x₂=2, x₃= –3, …, x_n=(–1)ⁿn, … Ясно, что это бесконечно большая переменная величина, так как при всех M > 0 все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше M.

Переменная величина x → +∞, если при произвольном M > 0 все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству x > M.

Аналогично, x → – ∞, если при любом M > 0 x < -M.

Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x → ∞, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x|>M, выполняется неравенство |f(x) - b| < ε.

Обозначают  .

http://examen.nx0.ru/index.php?option=com_content&view=article&id=467:2011-02-15-14-47-19&catid=13:math&Itemid=23 БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ

Ранее мы рассмотрели случаи, когда функция f(x) стремилась к некоторому конечному пределу b при x → a или x → ∞.

Рассмотрим теперь случай, когда функция y=f(x) стремится к бесконечности при некотором способе изменения аргумента.

Функция f(x) стремится к бесконечности при x → a, т.е. является бесконечно большой величиной, если для любого числа М, как бы велико оно ни было, можно найти такое δ > 0, что для всех значений х≠a, удовлетворяющих условию |x-a| < δ, имеет место неравенство |f(x)| > M.

Если f(x) стремится к бесконечности при x→a, то пишут   или f(x)→∞ при x→a.

Сформулируйте аналогичное определение для случая, когда x→∞.

Если f(x) стремится к бесконечности при x→a и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут   или  .

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x>a или при x>?, еслиили , т.е. бесконечно малая функция - это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Примеры.

1. Функция f(x)=(x-1)² является бесконечно малой при x>1, так как(см. рис.).

2. Функция f(x) = tgx - бесконечно малая при x>0.

3. f(x) = ln (1+x)- бесконечно малая при x>0.

4. f(x) = 1/x- бесконечно малая при x>?.

Вопрос 28. Свойства бесконечно малых функций

  Опираясь на правила вычисления пределов, можно сформулировать свойства бесконечно малых: алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x₀, а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при x → x₀:

1.
2.
3.
4.

  Все сказанное о бесконечно малых функциях при x → x₀ справедливо и для бесконечно малых функций при

 x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x₀ – 0, x → x₀+ 0.

Сравнение бесконечно малых функций

  Пусть α(x) и β(x) две бесконечно малые функции при x → x₀ и β(x) отлична от нуля в некоторой окрестности точки х₀ (за исключением, быть может, самой точки х₀). Если

 = 0,

то α(x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β(x) . В этом случае пишут α(x) = (β(x)) и говорят α(x) есть о − малое от β(x).   Если

 = А ≠ 0 ( A - число),

то бесконечно малые α(x) и β(x) имеют одинаковый поряок малости. В этом случае пишут α(x) = (β(x)), (α(x) есть O - большое от β(x).    Если

 = ∞,

то α(x) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β(x).    Если

 = 1,

то α(x) и β(x) называется эквивалентными бесконечно малыми, α(x) ~ β(x).   В некоторых случаях недостаточно знать, что одна из двух бесконечно малых является бесконечно малой более высокого порядка, чем другая. Нужно еще оценить, как высок этот порядок. Поэтому вводится следующее правило: если

,

то α(x) является бесконечно малой n -го порядка относительно β(x).   Теорема. Для того, чтобы две функции f = f (x) и g = g (x), f (x) ≠ 0, g (x) ≠ 0, были эквивалентными при х → х₀, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий

f - g = (f ) или f - g = (g).

Первый замечательный предел: http://ru.wikipedia.org/wiki/%C7%E0%EC%E5%F7%E0%F2%E5%EB%FC%ED%FB%E5_%EF%F0%E5%E4%E5%EB%FB