Вопрос 1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
Можно встретить как обозначения с круглыми скобками «(…)», так и обозначения с квадратными скобками «[…]».
краткая
форма записи
Матрица у которой число строк равно числу столбцов называется квадратной матрицей n-го порядка. Элемент квадратной матрицы у которой №столбца = №строк называется диагональными. И образуют главную диагональ матрицы.
Элементы побочной диагонали расположены на линии исходящей из правого верхнего к нижнему левому. Элементы главной наоборот.
Матрица которая содержит либо 1 столбец, либо 1 строку называется вектором. Различают вектор столбец и вектор строку.
Верхняя треугольная матрица – матрица, все элементы которой расположены ниже главной диагонали равны 0. Нижняя треугольная матрица все элементы расположены выше главной диагонали равны 0 Диагональная – квадратная матрица у которой все элементы расположенные вне главной диагонали равны 0
Единичная матрица – диагональная матрица у которой на главной диагонали стоят 1.
Матрицы допускают следующие алгебраические операции:
сложение матриц, имеющих один и тот же размер;
умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую n столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую n строк);
умножение матрицы на число
Транспонирование
Транспонированную
матрицу можно получить, поменяв строки
и столбцы матрицы местами. Матрица A =
(aij) размера 
при
этом преобразовании станет матрицей
размерностью 
.
A =
(aij)
Свойства операции транспонирования
=А
2.
одинаковый размер складывается по
элементарно
3.
Вопрос 2.
Умноже́ние ма́триц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется произведе́нием ма́триц.
Определение
Пусть
даны две прямоугольные
матрицы A и B размерности
и 
соответственно:
Тогда
матрица C размерностью 
называется
их произведением:
где:
Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матриц согласована. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка.
Следует заметить, что из существования произведения AB вовсе не следует существование произведения BA.
Свойства
Сочетательное свойство:
Распределительное свойство:
.
Произведение
матрицы на единичную
матрицу 
подходящего
порядка равно самой матрице:
Произведение
матрицы на нулевую
матрицу 
подходящей
размерности равно нулевой матрице:
Если 
и 
—
квадратные одного и того же порядка,
то произведение матриц обладает ещё
рядом свойств.
Умножение матриц в целом некоммутативно:
Если 
,
то матрицы
и
называются
перестановочными или коммутирующими
между собой.
Определитель и след произведения не зависят от порядка умножения матриц:
Вопрос 3. Любой квадратной матрице н-го порядка можно поставить в соответствие число,определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы.Это число называется определителем(детерминантом) матрицы.
Определитель-число,характеризующее квадратную матрицу А,тесно связанного с решением линейных уравнений.
Определителем
второго порядка называется число равное
разности произведений элементов главной
и второй диагонали:
Примеры определителей второго порядка:
Определителем
третьего порядка называется следующее
выражение:
Определитель третьего порядка вычислить легко, если учесть следующее правило: со знаком плюс идут произведения троек чисел, расположенных на главной диагонали матрицы, и в вершинах треугольников с основанием параллельным этой диагонали и вершиной в противоположого угла матрицы. Со знаком минус идут тройки из второй диагонали и из треугольноков, построенных относительно этой диагонали. Следующая схема демонстрирует это правило, называемое правилом треугольников. В схеме синим (слева) отмечены элементы, чьи произведения идут со знаком плюс, а зеленым (справа) - со знаком минус.
Примеры определителей третьего порядка:
