Вопрос 23

1. Функции одной переменной

1.1. Понятие функции одной переменной

Рассмотрим два числовых множества X и Y. Правило f, по которому каждому числу хI Х ставится в соответствие единственное число yI Y, называется числовой функцией, заданной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y.

Таким образом, задать функцию, значит задать три объекта:

1) множество Х (область определения функции);

2) множество Y (область значений функции);

3) правило соответствия f (сама функция).

Например, поставим в соответствие каждому числу его куб. Математически это можно записать формулой y=x³. В этом случае правилоf есть возведение числа х в третью степень. В общем случае, если каждому х по правилу f соответствует единственный y, пишут y = f(x). Здесь "х" называют независимой переменной или аргументом, а "y" -зависимой переменной (т.к. выражение типа x³ само по себе не имеет определенного числового значения пока не указано значение х) или функцией от х. О величинах х и y говорят, что они связаны функциональной зависимостью. Зная все значения х и правило f можно найти все значения у. Например, если х=2, то функция f(x) =x³ принимает значение у= f(2) =2³ =8.

 1.2. Способы задания функции одной переменной

Существуют несколько способов задания функции.

Аналитический способ. Функция f задается в виде формулы y=f(x). Например, y=3cos(x)+2x². Этот способ является преобладающим в математических исследованиях и подробно рассматривается в классическом курсе математики. В географических исследованиях соответствие между переменными величинами x и y не всегда удается записать в виде формулы. Во многих случаях формула бывает неизвестна. Тогда для выражения функциональной зависимости используются другие способы.

Графический способ. На метеорологических станциях можно наблюдать работу приборов-самописцев, регистрирующих величины атмосферного давления, температуры воздуха, его влажности в любой момент времени суток. По полученному графику можно определить значения указанных величин в любой момент времени. Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (x, f(x)). График содержит всю информацию о функции. Имея перед собой график, мы как бы "видим функцию".

 

Табличный способ. Этот способ является наиболее простым. В одной строке таблицы записываются все значения аргумента (числа), а в другой – значения f(x), соответствующие каждому х. Например, зависимость температуры воздуха (Т) от времени суток (t) в определенный день можно представить таблицей.

Свойства Ограничение снизу и сверху на множестве Функцию у = f(x) называют ограниченной снизу на множестве XD(f), если все значения этой функции на множестве X больше некоторого числа; иными словами, если существует число т такое, что для любого значения € X выполняется неравенство f(x) > т.

Функцию у=f(x) называют ограниченной сверху на множестве XD(f), если все значения этой функции меньше некоторого числа; иными словами, если существует число М такое, что для любого значения х X выполняется неравенство f(x) < М.

Если множество X не указано, то подразумевается, что речь идет об ограниченности функции снизу или сверху на всей области ее определения.

Если функция ограничена и снизу, и сверху на всей области определения, то ее называют ограниченной.

Возрастающие и убывающие функции. Функция y = f(x) называется возрастающей на промежутке X, если для любых x₁ и х₂ из X, таких, что x₁<x₂, выполняется неравенство f (x₁)<.f (х₂). Функция y = f{x) называется убывающей на промежутке X, если для любых Х₁ и X₂ из X, таких, что х₁<х₂,выполняется неравенство f {x₁)>f (x₂). Иными словами, функция возрастает (убывает) на промежутке X, если какие бы два значения аргумента ни взять, большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Точка максимума и точка минимума

Точку х₀ называют точкой максимума функции у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х₀)выполняется неравенство f(x) < f(x₀). Точку х₀ называют точкой минимума функции у = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х₀) выполняется неравенство f(x) > f(x₀).

Наименьшее и наибольшее значение функции

Число т называют наименьшим значением функции у = f(x) на множестве X(f), если:

во множестве X существует точка х₀, такая, что f(x₀) = m;

для всех значений х из множества X выполняется неравенство

f(x) > f(x₀).

Число М называют наибольшим значением функции у = f(x) на множестве X (f), если:

1) во множестве X существует точка х₀, такая, что

f(x₀) = M;

для всех значений х из множества X выполняется неравенство

f(x) < f{x₀).

Если множество X не указано, то подразумевается, что речь идет о поиске наименьшего или наибольшего значения функции во всей области определения. Наименьшее значение функции обозначают символом y_наим., а наибольшее -- символом y_{наиб .}

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Определение

Функция   является обратной к функции  , если выполнены следующие тождества:

f(g(y)) = y для всех 

g(f(x)) = x для всех 

http://ru.wikipedia.org/wiki/%CE%E1%F0%E0%F2%ED%E0%FF_%F4%F3%ED%EA%F6%E8%FF

Сложная функция, функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = j(х), то у является С. ф. от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значенийх, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u). В таком случае говорят, что уявляется С. ф. независимого аргумента х, а u — промежуточным аргументом. Например, если у = u², u = sinx, тоу = sin²х для всех значений х. Если же, например, у =   , u = sinx, то у =   , причём, если ограничиваться действительными значениями функции, С. ф. у как функция х определена только для таких значений х, для которых sin ³ 0, то есть для   , где k = 0, ± 1, ± 2,...

Производная С. ф. равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Это правило (цепное правило) распространяется на С. ф. с двумя, тремя и т. д. промежуточными аргументами: если у = f (u₁), u₁ = j(u₂),..., u_k-1= j_k-1(u_k), u_k = j_k (x), то

Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции, т. е. функции

y = f(x),    ,

заданной уравнением

F(x,y) = z₀,   

и значение   фиксированно.