Вопрос 41 (42)
Формула Тейлора для многочленов и функций. Разложение в ряд Тейлора
Начнем
изучение формулы
Тейлора на
примере многочленов. Пусть у нас есть
многочлен
степени
m, также мы знаем значение данного
многочлена в некоторой точке
и
знаем значение первых m производных
многочлена
,
тогда мы можем представить наш многочлен
в следующем виде:
Если же к примеру нам известны значения первых n < m производных многочлена , то исходный многочлен мы можем представить в виде:
-
это и есть формула
Тейлора степени
n для многочлена
.
Т.е. представление многочлена по
степеням
с
коэффициентами представимих через
производные данного многочлена. Наш
многочлен представим в виде
,
где 
остаточный
членформулы
Тейлора.
Способы разложения в ряд Тейлора:
1) Из вида формулы Тейлора сразу же приходит в голову один из способов: посчитать необходимое количество производных и найти их значения в соответствующей точке.
2) Разложить в ряд Тейлора используя разложения элементарных функций(разложение элементарных функций мы приведем в следующей статье). Этот способ требует своеобразной смекалки, знания разложений элементарных функций.
Остаточный член формулы Тейлора
Остаточный член формулы Тейлора может быть представлен в форме Лагранжа, Коши или Пеано. Остановимся на каждом из представлений немного подробнее.
1) 
- остаточный
член в
форме Лагранжа.
2) 
- остаточный
член в
форме Коши.
3) 
- остаточный
член в
форме Пеано,
где
с - точка из интервала 
либо
интервала
Формула
Тейлора применяется
при приближенном подсчете значения
функции в какой-либо точке, а остаточный
член посчитанный
в этой точке показывает погрешность
вычислений. Формулу Тейлора разложенную
в окрестности нуля, т.е. когда
называют формулой
Маклорена.
Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:
Вопрос 42 (43)
Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) утверждает, что
-
Если вещественная функция непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.
Доказательство
Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.
Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.
Геометрический смысл
Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.
Следствие
Если непрерывная функция обращается в ноль в n различных точках, то ее производная обращается в ноль по крайней мере в n − 1 различных точках[1], причем эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.
Теорема Ферма Теорема Ферма, - утверждение, что для любого натурального числа n > 2 уравнение xn + yn = zn (уравнение Ферма) не имеет решений в целых ненулевых числах x, y, z. Теорема была сформулирована Пьером Ферма примерно в 1630 году на полях книги Диофанта "Арифметика" следующим образом: "невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем" http://lemyakin.narod.ru/t_ferma.htm