- •Вопрос 1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
- •Вопрос 2.
- •I. Минор
- •II. Алгебраические дополнения
- •Вопрос 4. Определители любого(Высших??) порядка. Свойства определителей.
- •Вопрос 5.
- •Матрица 2х2
- •С помощью матрицы алгебраических дополнений
- •Пример решения неоднородной слау
- •Вопрос 6.
- •Вопрос 8.
- •2. Простейшие операции над векторами
- •Вопрос 9.
- •Вопрос 10.
- •Вопрос 11.
- •Вопрос 12.
- •Вопрос 13.
- •Свойства обратной матрицы
- •Вопрос 14.
- •Вопрос 15.
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Вопрос 16.
- •Вопрос 17. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
- •Вопрос 18. Прямая на плоскости. Общее урав прямой в вопросе 16. Взаимное расположение двух прямых
- •Вопрос 19.20,21,22 (общее)
- •Вопрос 23
- •Вопрос 24.
- •Бесконечно малая величина
- •Бесконечно большая величина
- •Вопрос 25.
- •Вопрос 26.
- •Вопрос 27.
- •Вопрос 28. Свойства бесконечно малых функций
- •Вопрос 29. Второй замечательный предел:
- •Вопрос 30.
- •Вопрос 31. (32)
- •Вопрос 32. (33) Приращение функции f(X) в точке X — функция обычно обозначаемая Δxf от новой переменной Δx определяемая как
- •Вопрос 33 (34). Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •Вопрос 34 (35) Условия монотонности функции
- •Вопрос 35 (36) Основные правила дифференцирования
- •Вопрос 36 (37) Экстремум функции
- •Вопрос 37 (38)
- •Вопрос 38 (39) Непрерывность функций
- •Вопрос 39 (40).
- •Вопрос 40 (41).
- •Вопрос 41 (42)
- •Вопрос 42 (43)
- •Вопрос 43 (44) Теорема Лагра́нжа в теории групп гласит:
- •Вопрос 45 (46) Производные и дифференциалы высших порядков
- •Вопрос 47 (48) 1.А)Найти одз и точки разрыва функции.
Вопрос 24.
Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.
Определение
Пусть множество X — это либо множество вещественных чисел , либо множество комплексных чисел . Тогда последовательность элементов множества Xназывается числовой последовательностью.
Примеры
Функция является бесконечной последовательностью целых чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .
Функция является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид .
Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида . В частности, пятым членом x5 этой последовательности является слово «май».
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C
В математике пределом последовательности элементов пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать», в некотором смысле, элементы данной последовательности. Свойство последовательности, иметь или не иметь предел, называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится, в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится.
Определение
Пусть дано топологическое пространство T и последовательность Тогда, если существует элемент такой, что
,
где U(x) — открытое множество, содержащее x, то он называется пределом последовательности xn. Если пространство является метрическим, то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент такой, что
,
где d(x,y) — метрика, то x называется пределом xn.
Примеры
Если пространство снабжено антидискретной топологией, то пределом любой последовательности будет любой элемент пространства.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8
Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.
Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.
Бесконечно малая величина
Последовательность an называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если .
Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то f(x) − a = α(x), .
Бесконечно большая величина
Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsin x, неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .
Последовательность an называется бесконечно большой, если .
Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если .
Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .
Сравнение бесконечно малых
Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость 0/0.
Определения
Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины α(x) и β(x) (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).
Если , то β — бесконечно малая высшего порядка малости, чем α. Обозначают β = o(α).
Если , то β — бесконечно малая низшего порядка малости, чем α. Соответственно α = o(β).
Если (предел конечен и не равен 0), то α и β являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости.
Это обозначается как β = O(α) или α = O(β) (в силу симметричности данного отношения).
Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина β имеет m-й порядок малости относительно бесконечно малой α.
Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.
Примеры сравнения
При величина x5 имеет высший порядок малости относительно x3, так как . С другой стороны, x3 имеет низший порядок малости относительно x5, так как .
С использованием О-символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде x5 = o(x3).
то есть при функции f(x) = 2x2 + 6x и g(x) = x являются бесконечно малыми величинами одного порядка.
В данном случае справедливы записи 2x2 + 6x = O(x) и x = O(2x2 + 6x).
При бесконечно малая величина 2x3 имеет третий порядок малости относительно x, поскольку , бесконечно малая 0,7x2 — второй порядок, бесконечно малая — порядок 0,5.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE_%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D1%8F_%D0%B8_%D0%B1%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE_%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B0%D1%8F
Свойства бесконечно малых
Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
Если an — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.
(Найти примеры б.м и б.б??!?)
Предел последовательности
Основная статья: Предел последовательности
Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространствепределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.
Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.
Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.
Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.