Вопрос 13.
Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матрицобратных матриц не существует.
Свойства обратной матрицы
, где обозначает определитель.
для любых двух обратимых матриц A и B.
где * T обозначает транспонированную матрицу.
для любого коэффициента .
Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A − 1 существует, то x = A − 1b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.
Алгоритм:
1. Исследование матрицы на невыражденность
Обратной матрицы не существует.
2.
Расставляем матричные алгебраические
уравнения (??!)
3.
Вычисляем присоед. (союзную) матрицу
4. Вычисление обратной матрицы
5. Проверка условий
А)
Б)
Тестовый
пример
Найти матрицу обратную матрице
А
Решение
1.
;
;
3.
4.
Пример
нахождения:
Вопрос 14.
Определение. Линейным уравнением относительно переменных x, y, z называется уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0, где хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля.
Теорема. Всякая плоскость в пространстве определяется линейным уравнением
и обратно, всякое линейное уравнение (3) определяет плоскость в пространстве.
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
Пусть даны три точки M0(x0 , y0, z0), M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), которые лежат в одной плоскости. Пусть М (x, y, z) произвольная точка этой плоскости. Тогда векторы M0M, M0M1, M0M2 лежат в одной плоскости и их смешанное произведение равно нулю:
M0M×(M0M1·M0M2) = 0
Расписывая смешанные произведения в координатной форме, получим:
Раскроем определитель по первой строке:
Если
ввести обозначения 
, 
, 
,
то получим A·(x
- x0)
+ B·(y
- y0)
+ C·(z
- z0)
= 0, уравнение плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению
Плоскостью,
проходящей через заданную точку
M0(x0, y0, z0)
перпендикулярно заданному
направлению 
называется
геометрическое место точек концов
векторов, имеющих началом М0 и
перпендикулярных вектору
.
Пусть M(x, y, z)
произвольная точка плоскости. В этом
случае
|
. |
Воспользовавшись
условием перпендикулярности двух
векторов 
,
получим 
или
A·(x - x0) + B·(y - y0) + C·(z - z0) = 0.
Раскрыв скобки и приведя подобные, получим
A·x + B·y + C·z + D = 0.
где D = − A·x0 − B·y0 − C·z0. Таким образом, A·x + B·y + C·z + D = 0 — общее уравнение плоскости. Из уравнения плоскости и постановки задачи следует геометрический смысл коэффициентов А, В, С — координаты вектора, перпендикулярного плоскости. Общее уравнение плоскости Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:
Ax + By + Cz + D = 0 где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости. Возможны следующие частные случаи:
А = 0 – плоскость параллельна оси Ох
В = 0 – плоскость параллельна оси Оу
С = 0 – плоскость параллельна оси Оz
D = 0 – плоскость проходит через начало координат
А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу
А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz
В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz
А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох
В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу
С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz
А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу
А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz
В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz