- •Вопрос 1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
- •Вопрос 2.
- •I. Минор
- •II. Алгебраические дополнения
- •Вопрос 4. Определители любого(Высших??) порядка. Свойства определителей.
- •Вопрос 5.
- •Матрица 2х2
- •С помощью матрицы алгебраических дополнений
- •Пример решения неоднородной слау
- •Вопрос 6.
- •Вопрос 8.
- •2. Простейшие операции над векторами
- •Вопрос 9.
- •Вопрос 10.
- •Вопрос 11.
- •Вопрос 12.
- •Вопрос 13.
- •Свойства обратной матрицы
- •Вопрос 14.
- •Вопрос 15.
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Вопрос 16.
- •Вопрос 17. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
- •Вопрос 18. Прямая на плоскости. Общее урав прямой в вопросе 16. Взаимное расположение двух прямых
- •Вопрос 19.20,21,22 (общее)
- •Вопрос 23
- •Вопрос 24.
- •Бесконечно малая величина
- •Бесконечно большая величина
- •Вопрос 25.
- •Вопрос 26.
- •Вопрос 27.
- •Вопрос 28. Свойства бесконечно малых функций
- •Вопрос 29. Второй замечательный предел:
- •Вопрос 30.
- •Вопрос 31. (32)
- •Вопрос 32. (33) Приращение функции f(X) в точке X — функция обычно обозначаемая Δxf от новой переменной Δx определяемая как
- •Вопрос 33 (34). Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •Вопрос 34 (35) Условия монотонности функции
- •Вопрос 35 (36) Основные правила дифференцирования
- •Вопрос 36 (37) Экстремум функции
- •Вопрос 37 (38)
- •Вопрос 38 (39) Непрерывность функций
- •Вопрос 39 (40).
- •Вопрос 40 (41).
- •Вопрос 41 (42)
- •Вопрос 42 (43)
- •Вопрос 43 (44) Теорема Лагра́нжа в теории групп гласит:
- •Вопрос 45 (46) Производные и дифференциалы высших порядков
- •Вопрос 47 (48) 1.А)Найти одз и точки разрыва функции.
Вопрос 38 (39) Непрерывность функций
Определение непрерывности функции
Функция , называется непрерывной в точке , если выполняется одно из эквивалентных условий:
1) ; (1)
2) для произвольной последовательности (xn) значений , сходящейся при n → ∞ к точке x0, соответствующая последовательность (f(xn)) значений функции сходится при n → ∞ к f(x0);
3) или f(x) - f(x0) → 0 при x - x0 → 0;
4) такое, что
или, что то же самое,
f: ]x0 - δ, x0 + δ[ → ]f(x0) - ε, f(x0) + ε[.
Из определения непрерывности функции f в точке x0 следует, что
Если функция f непрерывна в каждой точке интервала ]a, b[, то функция f называется непрерывной на этом интервале.
Функция f: ]a, x0] → R (f: [x0, b[ → R) называется непрерывной в точке x0 слева (справа), если выполняется одно из эквивалентных условий:
1) такое, что неравенство (1) выполняется, как только x0 - δ < x ≤ x0 (x0 ≤ x < x0 + δ);
2) для произвольной последовательности (xn) значений , сходящейся к точке x0, соответствующая последовательность (f(xn)) значений функции f сходится к f(x0);
3) или, короче, если f(x0 - 0) = f(x0) (f(x0 + 0) = f(x0));
4) такое, что
Функция f: X → R непрерывна во внутренней точке тогда и только тогда, когда она в этой точке непрерывна слева и справа.
Теорема 1. Если функция , непрерывна в точке , а функция f: X → R непрерывна в точке , гдеx0 = g(t0), то композиция f ◦ g: T → R непрерывна в точке t0.
Теорема 2. Пусть функции f: X → R и g: X → R, , непрерывны в точке . Тогда функции
f + g, fg и f/g (g(x0) ≠ 0),
непрерывны в точке x0.
Все элементарные функции непрерывны в области существования.
Непрерывность некоторых элементарных функций
1) Функция f(x) = C, C = const – непрерывная функция на всей области определения.
2) Рациональная функция непрерывна для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, функция этого вида непрерывна на всей области определения.
3) Тригонометрические функции непрерывны на своей области определения.
Докажем свойство 3 для функции y = sinx. зарегистрироваться в контакте без mail
Запишем приращение функции y = sin(x + x) – sinx, или после преобразования:
Действительно, имеется предел произведения двух функций и . При этом функция косинус – ограниченная функция при х0 , а т.к.
предел функции синус , то она является бесконечно малой при х0.
Таким образом, имеется произведение ограниченной функции на бесконечно малую, следовательно это произведение, т.е. функция у – бесконечно малая. В соответствии с рассмотренными выше определениями, функция у = sinx – непрерывная функция для любого значения х = х0 из области определения, т.к. ее приращение в этой точке – бесконечно малая величина.
Аналогично можно доказать непрерывность остальных тригонометрических функций на всей области определения.
Вообще следует заметить, что все основные элементарные функции непрерывны на всей своей области определения.
Определение. Функция f : N > R , областью определения которой является натуральный ряд, а значения функции принадлежат множеству R вещественных чисел, называется числовой последовательностью