23)Дискретное преобразование Фурье

Введем два числовых вектора x и X размерности N.

Компоненты этих векторов могут быть комплексными числами. Выразим компоненты вектора X через компоненты вектора x с помощью следующей суммы

Это соотношение носит название дискретного

преобразования Фурье. Вектор можно восстановить при помощи обратного дискретного преобразования Фурье, которое определяется формулой:

24)Свойства дискретное преобразование Фурье. Симметрия. Линейность

Е сли компоненты вектора x рассматривать как последовательность чисел.

то говорят, что эта последовательность имеет длину N . Также называют N - периодом последовательности. Кроме того, часто вектор x называют вектором-сигналом, а вектор ДПФ X называют вектором-спектром.

Свойства симметрии. Если вещественный вектор x с периодом N имеет в качестве ДПФ вектор X , то выполняются следующие условия симметрии.

=>

Линейность. Линейной комбинации векторов соответствует линейная комбинация ДПФ.

25)Свойства дискретное преобразование Фурье. Циклический сдвиг влево

Циклический сдвиг влево. Циклическому сдвигу влево компонент вектора-сигнала, соответствует умножение компонент вектора-сигнала на фазовый множитель.

Циклический сдвиг влево на m позиций. Циклическому сдвигу влево на m позиций компонент вектора-сигнала, соответствует умножение компонент вектора-сигнала на фазовый множитель.

Циклический сдвиг вправо на m позиций. Циклическому сдвигу вправо на m позиций компонент вектора-сигнала, соответствует умножение компонент вектора-сигнала на фазовый множитель.

26)Свойства дискретное преобразование Фурье

О пределение. Под сверткой двух векторов а=(a₀,a₁,…,a_N-1) и b=(b₀,b₁,…,b_N-1) с периодом N , будем понимать вектор c=(c₀,c₁,…,c_N-1) с периодом 2N вдвое большим. Причем компоненты вектора-сверки определяются следующими формулами.

Д ПФ свертки векторов. Вектор являющийся сверткой двух других векторов имеет ДПФ равный произведению ДПФ исходных векторов.

27)Быстрое преобразование Фурье (бпф)

Д ля быстрой спектральной обработки сигналов, надо иметь алгоритмы быстрого вычисления дискретного преобразования Фурье. Здесь мы рассмотрим один из таких алгоритмов.

Запишем ДПФ в следующем виде:

В этом алгоритме важным моментом является число членов N суммы. Рассмотрим ДПФ размерности N=2ⁿ. Введем обозначение:

Тогда ДПФ примет вид (1)

Введем вектор

, который является вектором четных отсчетов вектора X.

В ведем вектор: , который является вектором нечетных отсчетов вектора X. Учтем следующее соотношение

Д алее разобьем сумму (1) на два слагаемых с четными и нечетными членами и обозначим следующим образом

Тогда (1) перепишется следующим образом (2)

С делаем в (2) замену и воспользуемся свойствами.

В результате получим

(3)

П одведем некоторый итог. При помощи уравнений (3) мы выразили коэффициенты ДПФ размерности 2ⁿ через коэффициенты ДПФ размерности 2^n-1.

Другими словами на одном шаге использования уравнений (3) быстрота расчета возрастает примерно в два раза.