2)Спектральное представление сигналов

Кроме временного представления сигналов, где сигнал это функция времени s(t), при анализе и обработке сигналов, используется также частотное представление сигнала в виде функции частоты S(ω).

Функции s(t) и S(ω) связаны друг с другом преобразованием Фурье .Здесь первое выражение называется прямое преобразование Фурье, а второе выражение называется обратное преобразование Фурье.

Функция S(ω) называется спектром сигнала s(t). Имеются также другие названия этой функции – спектральная плотность, спектральная характеристика сигнала.

Функция S(ω) является комплексной функцией, и может быть представлена в алгебраической и показательной форме: S=a+ib=|S|e^iѳ. a=Re(S), b=Im(S). Величина |S|

называется модулем, а Ѳ=arg(S) аргументом комплексного числа. a=|S|cos(Ѳ), b=|S|sin(Ѳ)

, -π<Ѳ< π.

Из спектра S(ω) можно получить амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) и фазово-частотную характеристику (ФЧХ) φ(ω) с помощью соотношений:

Если использовать не круговую частоту ω, а обычную f , то формулы прямого и обратного преобразования Фурье становятся более симметричными.

Обратим внимание на обратное преобразование Фурье

Смысл этого выражение состоит в следующем. Любой сложный сигнал s(t) можно представить в виде суммы (или интеграла) более простых (базисных) сигналов

s_ω(t)=e^iωt с весовыми множителями 1/2πS(ω)dω. Формула Эйлера связывает эти простые сигналы с гармоническими колебаниями e^iωt=cos(ωt)+isin(ω). Поэтому преобразование Фурье – это разложение сигнала по гармоническим колебаниям.

3)Ачх и фчх действительных сигналов

Свойства преобразования Фурье:

Первое, если сигнал s(t) вещественная функция, то для спектра S(ω) выполняются следующие соотношения четности:

S*(ω)=S(-ω)

a(-ω)= a(ω), b(-ω)=- b(ω)

A(-ω)= A(ω), φ(-ω)=-φ(ω)

Здесь звездочка означает комплексное сопряжение. Из этих соотношений видно, что для вещественного сигнала, АЧХ - четная функция, а ФЧХ – нечетная функция.

Второе, если сигнал вещественная четная функция времени s(-t)=s(t), то для спектра выполняются следующие соотношения:

S*(ω)=S(ω)

a(-ω)= a(ω), b(ω)=0

A(-ω)= A(ω), φ(ω)=0,

Третье, если сигнал вещественная нечетная функция времени s(-t)=-s(t), то для спектра выполняются следующие соотношения:

S*(ω)=-S(-ω)

a(ω)=0, b(-ω)= -b(ω)

A(-ω)= A(ω), φ(ω)=

4)Примеры спектров некоторых сигналов

Р ассмотрим прямоугольный импульс, центрированный относительно начала отсчета времени и имеющий длительность τ

С пектр данного сигнала (АЧХ) простирается до бесконечности, постепенно затухая. Поэтому вводят понятие эффективной ширины спектра.

Спектр имеет лепестковый характер и ширина главного лепестка равна . При лепестковом характере спектра за эффективную ширину спектра принимают ширину главного лепестка. Длительность прямоугольного импульса равна

Произведение ширины спектра сигнала на длительность сигнала равна некоторому числу (это произведение называется базой сигнала).