10) Система функций Хаара
Систему функций Хаара {hn(t)}, n=0,1,2,…,¥ определим на интервале tÎ[0, 1) следующим образом. Положим h0(t)=1. Номер n следующих функций Хаара hn(t) представим в виде
Далее введем следующие интервалы
Тогда функции Хаара будут определяться следующими соотношениями
Свойства
1
)
Система
функций Хаара {hn(t)},
k=0,1,2,…,¥
ортонормированна на интервале tÎ[0, 1].
Поэтому имеют место соотношения
2)Система функций Хаара полна в пространстве L2[0,1].
11)Тригонометрические ряды Фурье
Р
ассмотрим
тригонометрическую систему функций.
Как хорошо известно, из курса специальных разделов математического анализа, такая система является полной на любом отрезке tÎ[a, a+T] длины T.
Если функция f(t) имеет период T и является кусочно-гладкой функцией на периоде, то ее ряд Фурье сходится к f(t) в каждой ее точке непрерывности.
В точках разрыва ряда Фурье сходящегося к среднему значению функции в этих точках.
Коэффициенты Фурье находятся по формулам:
(1)
Свойства
1
)Если
функция f(t)
четная, то из интегралов (1) видно, что
коэффициенты bk=0,
и возникает разложение по косинусам
2)Если функция f(t) нечетная, то из интегралов (1) видно, что в этом случае коэффициенты ak=0, и возникает разложение по синусам
1)С увеличением числа членов N частные суммы все точнее описывают сигнал, за исключением областей вблизи точек разрыва.
2)В точке разрыва ряд Фурье сходится к среднему значению в точке разрыва.
3)Вблизи точек разрыва наблюдаются пульсации, которые не пропадают с увеличением числа членов ряда N , пульсации лишь сжимаются, приближаясь к точке разрыва. Это явление, присущее рядам Фурье для любых сигналов с разрывами первого рода (скачками), называется эффектом Гиббса.
12)Комплексная форма рядов Фурье
В радиотехнике наиболее употребительной является комплексная форма ряда Фурье. Эта форма возникает из вещественной формы ряда Фурье, если использовать формулы Эйлера.
(1)
Возьмем вещественную форму ряда Фурье (1) и подставим в нее формулы
т
о
ряд Фурье примет вид:
Интегральное преобразование Фурье
Р
ассмотрим
переход от ряда Фурье в комплексной
форме к интегральному преобразованию
Фурье с помощью предельного перехода,
когда период стремиться к бесконечности
T ® ¥.
Перепишем комплексный ряд Фурье, заменив
функцию f(t)
на функцию s(t)
– так мы на первых лекция обозначали
сигнал, а буквой f
будем обозначать частоту.
В
ведем
дискретную частоту
Тогда расстояние между соседними частотами Df будет равно:
Д
алее
в формулах совершаем предельный переход.
1)Функция s(t) должна быть абсолютно интегрируемой на всей числовой оси, т.е.
2)Функция должна быть кусочно-гладкая на любом конечном интервале.