13)Спектральный анализ и преобразование Фурье

Кроме временного представления сигналов, где сигнал это функция времени s( t ), при анализе и обработке сигналов, используется также частотное представление сигнала в виде функции частоты S( f ) . Функции s( t ) и S( f ) связаны друг с другом преобразованием Фурье.

Ф ункция S( f ) является комплексной функцией, и может быть представлена в алгебраической и показательной форме.

Из спектра S( f ) можно получить амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) A( f ) и фазово-частотную характеристику (ФЧХ) j( f ) сигнала, с помощью соотношений.

С игнал s(t) и его частотный спектр S(f) взаимно однозначно соответствуют друг другу через прямое и обратное преобразование Фурье. Это соответствие будем обозначать следующим образом

14)Свойства преобразования Фурье. Линейность.Изменение масштаба

Линейной комбинации сигналов, соответствует линейная комбинация спектров.

Изменение масштаба. Если у сигнала временной масштаб уменьшается в a раз, то у спектра частотный масштаб возрастает в a раз.

15)Свойства преобразования Фурье. Задержка сигнала. Свертка сигналов

Сдвиг сигнала во времени приводит к умножению спектра на фазовый множитель.

Свертка сигналов. Сигнал являющийся сверткой двух других сигналов имеет спектр равный произведению спектров исходных сигналов

16)Свойства преобразования Фурье. Произведение сигналов. Равенство Парсеваля

Произведение сигналов. Сигнал являющийся произведением двух других сигналов имеет спектр равный свертке спектров исходных сигналов

Равенство Парсеваля для преобразования Фурье. Для преобразования Фурье имеет место следующее интегральное равенство (равенство Парсеваля).

17)Свойства преобразования Фурье. Дифференцирование по временной области.

Дифференцирование по временной области Сигнал являющийся производной от другого сигнала имеет спектр равный спектру исходного сигнала умноженному на частоту и коэффициент (2 p i ) .

Дифференцирование в частотной области. Сигнал являющийся произведением другого сигнала на время и коэффициент (– 2 p i ) имеет спектр равный производной по частоте от спектра исходного сигнала.

18)Спектр дискретного сигнала

Н апомним, что дискретный сигнал получают из непрерывного сигнала (аналогового сигнала) с помощью дискретизации.

здесь Dt - шаг дискретизации, а числа s_n называют отсчетами сигнала.

Аргументом непрерывного сигнала s(t) является время t Î (-¥, ¥+). Аргументом дискретного сигнала s_n является индекс n Î Z .

Д ля периодического сигнала, который является инфинитным, понятие спектра можно ввести с помощью комплексного ряда Фурье.

Разложение в ряд Фурье (31) означает, что периоди-

ч еский сигнал s(t) с периодом T содержит в себе

гармонические колебания с частотами

Расстояние между соседними частотами определяется соотношением

П усть тогда окончательно получим:

Т аким образом, спектр S(f_k)периодического сигнала оказался дискретным, или еще говорят линейчатым. По аналогии с непрерывным спектром финитного сигнала, можно ввести амплитудно-частотную характеристику сигнала (АЧХ) и фазово-частотную характеристику (ФЧХ)

Т аким образом, для периодического сигнала АЧХ и ФЧХ являются дискретными.

частота Найквиста