35)Обращение z – преобразования. Теорема о вычетах

Пусть известно Z – преобразование X(z) бесконечной последовательности x(n) .

Тогда элементы этой последовательности могут быть найдены по ее Z - образу X(z) с помощью формулы.

Здесь g - произвольный замкнутый контур лежащий в области аналитичности функции X(z) и охватывающий все ее особые точки. Кроме того, контур должен идти в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки.

На рисунке показан g - контур, круг радиуса r , вне которого - образ является аналитической функцией.

Теорема о вычетах

Для вычисления интегралов (10) удобно использовать теорему о вычетах.

В курсе функций комплексного переменного доказывается следующая теорема о вычетах. Пусть f(z) – аналитическая функция в некоторой области D , за исключением нескольких точек , лежащих в этой области. Далее, если g - замкнутый контур, целиком лежащий в области D и охватывающий эти точки, то тогда интеграл от функции f(z) по контуру g выражается через сумму вычетов в этих точках. (1)

Вычеты находятся с помощью следующих формул. Пусть точка z_k - является полюсом порядка m . Это означает, что функция f(z) имеет вид:

Здесь u(z) - аналитическая функция в области D . В этом случае вычет функции f(z) в точке z_k находится взятием производной и переходом к пределу.

Чтобы использовать теорему о вычетах для вычисления интегралов (1), мы должны функцию f(z) заменить на следующую функцию.

36)Основное уравнение лдф и передаточная функция

Основное разностное уравнение линейного дискретного фильтра имеет вид.

В разностном уравнении переходим к Z - образам. При этом учитываем свойство задержки последовательности. В нашем случае это приводит к следующим соотношениям . В результате разностное уравнение превращается в уравнение для Z - образов. (1)

Решаем уравнение (1). В суммах (1) Z – образы выносим за знак суммы. Члены с Y(z) переносим налево, члены с X(z) направо. (2)

Далее, из (2) получаем отношение Z – образов.

С другой стороны, это отношение равно переходной функции ЛДФ.

Таким образом, мы получаем формулу, которая позволяет вычислять переходную функцию, через коэффициенты основного разностного уравнения ЛДФ.

37)Соединения линейных дискретных фильтров

Последовательное соединение фильтров. Последовательное соединение фильтров показано на рисунке.

На вход системы из двух фильтров подается сигнал x(n), X(z) . На выходе имеем сигнал y(n), Y(z). Переходная функция системы фильтров определяется формулой.

(1). На каждом фильтре имеется входящий и выходящий сигналы. Следую рисунку, для них можно написать следующие соотношения. (2). Объединяя формулы (2) получаем:

(3)

Подставляем (3) в выражение (1), и получаем . Таким образом, при последовательном соединении фильтров передаточная функция системы равна произведению передаточных функций фильтров.

Параллельное соединение фильтров.

В ходящий сигнал X(z) пройдя через каждый фильтр, преобразуется в два сигнала:

(4)

Эти сигналы потом складываются, образуя результирующий сигнал. (5)

Подставляя формулы (4) в сумму (5) получаем.

(6)

Подставляем (6) в выражение (1), и получаем