5) Прямоугольный импульс, задержанный во времени

Теперь посмотрим, что измениться после сдвига прямоугольного импульса во времени. Пусть импульс начинается в нулевой момент времени.

В ычисляем спектр S(ω)с помощью прямого преобразования Фурье

6)Дуальность преобразования Фурье

Следующий пример демонстрирует дуальность преобразования Фурье. Если сравнить формулы прямого и обратного преобразования Фурье, можно заметить, что они отличаются друг от друга лишь знаком в показателе комплексной экспоненты и множителем перед интегралом.

Отсюда следует, что если функции времени f(t) соответствует спектральная функция g(ω), то функции времени g*(t) будет соответствовать спектральная функция 2π f*(ω)

Другими словами формы сигнала и его спектра поменяются местами.

Н есимметричный треугольный импульс

7) Односторонний экспоненциальный импульс

Мы рассмотрим сейчас импульс, у которого ФЧХ имеет гладкую зависимость. Рассмотрим односторонний экспоненциальный импульс, где a>0 произвольное положительное число.

Гауссов импульс

Поскольку сигнал является четной действительной функцией, его спектр получился чисто вещественной функцией, кроме того положительной функцией. Это означает, что амплитудно-частотная характеристика АЧХ совпадает со спектральной функцией. Фазово-частотная характеристика ФЧХ в этом случае просто равна нулю.

О пределим его эффективную длительность и ширину спектра по уровню 1/e от максимума. Тогда получим

8)Система функций Радемахера. Свойства

В качестве ортогональной системы функций можно взять систему функций Радемахера. Система функций Радемахера {r_k(t)}, k = 0,1,2,…,¥ является системой кусочно-постоянных функций, и определяется следующим образом. Функция r₀ на интервале tÎ[0, 1) задается следующим образом.

Затем функция r₀ периодически продолжается на всю числовую ость с периодом T=1 . На рисунке показан график этой функции.

С ледующая функция Радемахера r₁(t) получается из функции r₀(t) простым преобразованием

Свойства

1 )Система функций Радемахера {r_k(t)}, k=0,1,2,…,¥ ортонормированна на отрезке tÎ[0, 1] . Другими словами, все функции Радемахера ортогональны между собой, а норма каждой из них равна единице

2)Система функций Радемахера не является полной. Оказывается можно найти элемент y(t) пространства L₂[0,1], который не совпадает ни с одной функцией Радемахера, и в тоже время ортогонален любой из функций Радемахера. Т.е. система функций Радемахера не является полной в пространстве L₂[0,1]. Таким образом, система функций Радемахера

не может использоваться для разложения в ряд Фурье.

9) Система функций Уолша

С истему функций Уолша {w_n(t)}, n=0,1,2,…,¥ определим следующим образом. Представим целое число n ³ 0 в виде двоичного разложения:

Тогда функции системы Уолша выражаются при помощи функций Радемахера как

Свойства

1)Система функций Уолша{w_n(t)}, k=0,1,2,…,¥ ортонормированна на отрезке tÎ[0, 1]. Поэтому имеют место соотношения

2)Система функций Уолша полна в пространстве.