33 Необходимое условие сходимости ряда. Достаточное условие расходимости числового ряда

Необходимый признак сходимости числового ряда:

Если ряд   сходится, то  .

 Данный признак означает, что если  , то ряд расходится. Например,   расходится, так как  . Из выполнения условия    в общем случае не следует сходимость ряда  . Например, для ряда   (гармонический ряд), условие   выполнено, но данный ряд расходится.

Ряд u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n + ...   может сходиться лишь в том случае, когда член u_n (общий член ряда) стремится к нулю:

Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.

34 Признаки сравнения числовых рядов

Теорема: (признак сравнения) Если сущ-ет номер n0,такой, что для любого n>=n0 0<=an<=bn(1), то 1. из сходимости =>сходимость 2. из расходимости => расходимость Док-во: Пусть n0=1, тогда 1. Sn= - n-ная частичная сумма ряда an. /S\n= - n-ная частичная сумма ряда bn. Из (1) => Sn<=/S\n для любого n т.к. bn- сходится, то {/S\n} – сходится => посл-ть ограниченна => ограниченна {Sn} и значит что пос-ть сходится, значит - сходится. 2. Пусть - расходится => {Sn} – неограниченна => {/S\n}- неогр. => - расх. Пусть n0>1 тогда д.р. и - т.к. отбрасывание конечного числа элементов ряда не влияет на сходимость . Предельный признак сравнения: Теорема: Если an>0, bn>0, для любого n>n0 и сущ-ет конечный предел an/bn ≠0, то ряды и - сходятся или расходятся одновременно. Док-во: Пусть liman/bn=L для любого ε>0 сущ-ет n_ε т.ч. для любого n>n_ε |an/bn-L|<ε; L-ε<an/bn<L+ε. Bn>0 => (L-ε)bn<an<(L+ε)bn если - сходится, то (L+ε) – сходится, и из === по признаку сравнения следует, что - сходится, если - расходится, то (L-ε) - расх, то из -------- следует - расходится.

35 Признак д'Аламбера

Теорема: Пусть an>0 для любого n, если lim(a_n+1/a_n)=L, то - сходится, если L<1, расходится если L>1. 0<(a­_n+1/a_n)<1, lim(a_n+1/a_n)=L<1; L<θ<1 т.к. сходимость или расходимость ряда не нарушается в результате изменения или удаления конечного числа его членов будем считать: 0<(a­_n+1/a_n)<1 для любого n; тогда 0<a₂/a₁<θ; a₂<θ; 0< a₂/a₁<θ …… θ – сходится (геометрическая прогрессия с q=0) => по теореме сравнения сходится ряд . Lim(a_n+1/a_n)=L>1, a_n+1/a_n>1 почти для всех n => начиная с некоторого номера члены ряда возрастают т.е. не выполняется условие liman=0 т.е. ряд расх.

36 Радикальный признак Коши

Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд  . Если существует предел:  , то: а) При   ряд сходится. В частности, ряд сходится при  . б) При   ряд расходится. В частности, ряд расходится при  . в) При   признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера нам тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.

Когда нужно использовать радикальный признак Коши? Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда ПОЛНОСТЬЮ находится в степени,зависящей от «эн». Либо когда корень   «хорошо» извлекается из общего члена ряда. Есть еще экзотические случаи, но ими голову забивать не будем.