10 Вычисление Тройного интеграла в цилиндрических координатах
Рассмотрим цилиндрическую систему координат: Оrφz, которая совмещена с декартовой системой координат Оxyz(рис. 2.19).
При
этом
Вычислим Якобиан перехода от декартовой системы к цилиндрической:
Следовательно, 
Тогда тройной интеграл примет вид:
11 Вычисление тройного интеграла в сферических координатах
Рассмотрим сферическую систему координатОρΘφ, совмещённую с декартовой системой Оxyz. При этом максимальные пределы изменения сферических координат таковы: 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ ∞
Из рис. 2.21 нетрудно вывести следующие формулы, связывающие декартовые и сферические координаты:
с помощью которых получим Якобиан преобразования:
Таким образом, переход к сферическим координатам в тройном интеграле осуществляется по формулам:
12 Вычисление пи-1
Поверхностный
интеграл первого рода от
функции 
по
поверхности S определяется
следующим образом:
где
частные производные 
и 
равны
а 
означает
векторное произведение. Вектор
перпендикулярен
поверхности в точке 
.
Абсолютное
значение 
называется элементом
площади:
оно соответствует изменению площади dS в
результате приращения координат u и v на
малые значения du и dv (рисунок
1).
|
13 Вычисление статических моментов фигуры
статические
моменты фигуры на плоскости. Пусть
в декартовой системе координат на
плоскости задана фигура, ограниченная
кривыми 
, x = a, x = b 
и
для x [a; b] 
.
Если плотность постоянна ( = 1), то статические моменты фигуры относительно осей координат выражаются формулами:
;
.
Пример
3. Вычислить
статический момент фигуры, ограниченной
линиями 
относительно
оси ОХ.
Решение. Кривые 
пересекаются
в точках (0;0) и (1;1). На отрезке x [0,1]
выполняется неравенство 
,
поэтому
.
14 Вычисление координат центра тяжести фигуры
ентр тяжести фигуры, заданной на плоскости, имеет координаты
,
где 
–
статические моменты фигуры относительно
осей координат; S –
площадь фигуры.
Пример
5. Определить
координаты центра тяжести области,
ограниченной первой аркой циклоиды x = a(t
– sint), y = a(1
– cost), 
, a > 0
и осью ОХ.
Решение. Вычислим площадь фигуры и статические моменты:
;
;
.
Подставив полученные результаты в формулы, найдем координаты центра тяжести:
.
15 Вычисление моментов инерции фигуры
Момент инерции фигуры можно вычислять относительно плоскостей, осей координат и начала координат:
,
здесь 
есть
квадрат расстояния точки 
,
,
до
соответствующего
объекта. Например, если 
или 
,
–
плотность распределения массы по
фигуре
,
то
, 
, 
–
моменты инерции материальной фигуры относительно соответствующей координатной плоскости;
, 
, 
–
моменты инерции материальной фигуры относительно соответствующей оси координат;
– момент
инерции материальной
фигуры
относительно начала координат.
16 Кр И-2, определение, вычисление, свойства, связь с Кр И-1, физический смысл
Если
существует конечный предел при 
интегральной
суммы 
,
не зависящий от способа разбиения кривой
на отрезки и выбора точек Mi, то от
называется криволинейным интегралом
второго рода от функции f(M) по кривой L
и обозначается
.
Свойства криволинейного интеграла 2-го рода.
Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (10.6) существует (справедливость этого утверждения следует из определения 10.2).
2 При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак:
Вычисление
