51 Ортогональные системы функций. Скалярное произведение функций

Две вещественные функции φ₁(t) и φ₂(t) на интервале [a,b] называются ортогональными, если

Для комплексных функций вводится комплексное сопряжение одной из функций под интегралом, для векторных — скалярное произведение функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности.

Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом w функции f и g, если

где   — скалярное произведение векторов f(x) и g(x) — значений векторнозначных функций f и g в точке x, x — точка области Ω, а dΩ — элемент её объёма (меры). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных f(x), g(x) скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных f(x), g(x):  .