6 Вычисление криволинейного интеграла 1-ого рода

волинейный интеграл легко сводится к определенному интегралу. Примем за параметр длину дуги отсчитываемую от точки А по кривой получим параметрическое представление кривой где —

длина дуги Пусть в (25.3) промежуточным точкам

соответствует т.е. Тогда

Последняя сумма является интегральной для определения интеграла  т.е.

 (25.4)

Эта формула доказывает существование криволинейного интеграла 1 рода от функции (х,у), непрерывной в D, если D — непрерывная кусочно-гладкая кривая.

Рассмотрим формулы для вычислений криволинейного интеграла в следующих случаях:

а) х = x(t), у = y{t), где x{t) и y{t) непрерывно

дифференцируемы на тогда (см. разд. 18.3)

т.е. из (25.4) имеем

Формула может быть обобщена на пространственный случай, т.е. если  х = x(t), у = y(t), z = z(t), непрерыв-

на в D, В, тогда

Аналогично записывается формула для большего числа переменных.

7 Вычисление ди в декартовых координатах

8 Вычисление ди в полярных координатах

Пусть область D записывается системой неравенств в полярных координатах:

Такая область называется правильной в полярной системе координат, если каждый луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в 2-x точках.

 

По определению   .

Т. к. значение двойного интеграла не зависит от способа разбиения области D на элементарные части, то сделаем это разбиение координатными линиями полярной системы координат (лучами из полюса и концентрическими окружностями).

Переведенный в полярные координаты двойной интеграл сведен к повторному по имеющейся записи области D неравенствами для переменных   и   . В результате получаем формулу для вычисления двойного интеграла в полярных координатах:

 .

Обратите внимание, что в правой части формулы присутствует множитель   - это якобиан (определитель Якоби) преобразования, который находится следующим образом:

9 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Пусть в трехмерной области V пространства OXY задана функция  . Разобьем произвольным образом область V на элементарные подобласти  , в каждой подобласти зафиксируем произвольную точку ( ) и составим трехмерную интегральную сумму  .

Тройным интегралом от функции  по ограниченной области V называется предел последовательности соответствующих интегральных сумм при стремлении к нулю наибольшего из диаметров  элементарных областей  , если этот предел не зависит ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек  :

.

Вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла и одного однократного либо к вычислению трех повторных интегралов. Если область V ограничена сверху поверхностью  , снизу поверхностью  , с боков – прямым цилиндром, вырезающим на плоскости OXY область D, то  .

Рис. 9

С помощью тройного интеграла объем тела, изображенного на рис. 9, вычисляют по формуле: .