- •1 Фигура, диаметр, мера. Определённый интеграл по фигуре (определение)
- •2 Масса фигуры переменной плотности
- •3 Геометрический смысл ди (двойного интеграла)
- •4 Геометрический смысл Кр и -1
- •5 Свойства определённого интеграла по фигуре
- •6 Вычисление криволинейного интеграла 1-ого рода
- •7 Вычисление ди в декартовых координатах
- •8 Вычисление ди в полярных координатах
- •9 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •10 Вычисление Тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •11 Вычисление тройного интеграла в сферических координатах
- •12 Вычисление пи-1
- •13 Вычисление статических моментов фигуры
- •14 Вычисление координат центра тяжести фигуры
- •15 Вычисление моментов инерции фигуры
- •Связь между криволинейными интегралами 1 и 2 рода.
- •17 Формула Грина
- •18 Независимость Кр и-2 от пути интегрирования
- •20. Формула Стокса
- •21 Формула Остроградского-Гаусса
- •22. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня скалярного поля. Производная по направлению.
- •23 Градиент, свойства градиента
- •24 Векторное поле, определение, векторные линии, труба
- •25 Поток векторного поля, его физический смысл
- •26 Дивергенция векторного поля, её свойства
- •27 Циркуляция векторного поля, её физический смысл
- •28 Ротор векторного поля, его свойства
- •29 Оператор Гамильтона, диф.Операции 1-го и 2-го порядка
- •30 Простейшие векторные поля: потенциальное, соленаидальное, гармоническое
- •31 Определение числового ряда, основные понятия. Необходимые и достаточные условия сходимости ряда
- •32 Свойства сходящихся числовых рядов
- •33 Необходимое условие сходимости ряда. Достаточное условие расходимости числового ряда
- •34 Признаки сравнения числовых рядов
- •35 Признак д'Аламбера
- •36 Радикальный признак Коши
- •37 Интегральный признак сходимости
- •38 Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Достаточное условие абсолютной сходимости знакопеременного ряда
- •24.2. Абсолютная и условная сходимость рядов.
- •39 Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •40 Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
- •41 Функциональные ряды, основные понятия
- •42 Равномерная сходимость функциональных рядов. Критерий равномерной сходимости. Теорема Вейештрасса
- •25.3. Свойства равномерно сходящихся рядов.
- •44 Степенные ряды. Теорема Абеля
- •45 Свойства степенных рядов
- •46 Ряд Тейлора. Теорема о единственности разложения функции в ряд Тейлора
- •47 Необходимое и достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
- •48 Разложение в ряд Маклорена простейших функций
- •49 Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям: а) вычисление значений функции; б) вычисление ои; в) решение диф. Уравнений
- •1Функции
- •50 Ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье функций заданных на [- ], [0,2 ], [-l,l], а также чётных и нечётных функций, функций заданных на [0, ]
- •51 Ортогональные системы функций. Скалярное произведение функций
48 Разложение в ряд Маклорена простейших функций
(1+x)m=1+ + + +
+…+ .
49 Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям: а) вычисление значений функции; б) вычисление ои; в) решение диф. Уравнений
1Функции
Продемонстрируем описанный метод на примере уравнения Кеплера
y = a + x sin y,
играющего важную роль в астрономии. Здесь y - эксцентрическая аномалия планеты, a - ее средняя аномалия, x - эксцентриситет орбиты планеты. Считая y неизвестной функцией от x, будем искать ее в виде
y = c0 + c1x + c2x2 + _
Разложив sin y по формуле (5) в ряд Тейлора по степеням y и подставив вместо y ряд (6), после возведения этого ряда в степени и приведения подобных членов получим
Из этого равенства, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа, найдем последовательно неизвестные
и саму функцию
Доказано, что это разложение верно при | x | < < 0,6627_
2 Требуется вычислить интеграл: .
Разложим подынтегральную функцию в ряд:из равенства получаем
это сходящийся ряд и мы его можем интегрировать почленно:
Пусть a=0,8, тогда
3 приближенного решения дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными. Не вдаваясь в сложные теоретические обоснования, рассмотрим дифференциальное уравнение Бесселя
x2y" + xy' + (x2 - n2)y = 0,
где n - постоянная (необязательно целая), x - независимая переменная, а y = y(x) - искомая функция. Решения этого уравнения, называемые функциями Бесселя, нашли применение практически во всех областях современного естествознания.
Будем искать y в виде обобщенного степенного ряда
где p, ak - неизвестные постоянные, причем a0 ? 0. Дифференцируя этот ряд дважды под знаком суммы, подставим выражения функции y и ее производных y', y" в уравнение (7). Затем сделаем приведение подобных членов, и коэффициенты полученного ряда приравняем нулю. После этого получим бесконечную систему уравнений
a0(p2 - n2) = 0, a1[(p + 1)2 - n2] = 0, ak[(p + k)2 - n2] + ak - 2 = 0, k = 2, 3, 4, _,
откуда находим p = ? n, a1 = a3 = a5 = _ = 0,
В случае нецелого n функции y1(x) и y2(x), соответствующие значениям p = n и p = - n, являются линейно-независимыми и любое другое решение дифференциального уравнения (7) имеет вид y = c1y1(x) + + c2y2(x), где c1 , c2 - постоянные. В случае целого n эти функции отличаются друг от друга только постоянным множителем, поэтому определяют лишь одно из двух линейно-независимых решений дифференциального уравнения.
50 Ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье функций заданных на [- ], [0,2 ], [-l,l], а также чётных и нечётных функций, функций заданных на [0, ]
Ряд Фурье — представление произвольной функции f с периодом τ в виде ряда
Этот ряд может быть также переписан в виде .
Где Ak — амплитуда k-го гармонического колебания,
— круговая частота гармонического колебания,
θk — начальная фаза k-го колебания, — k-я комплексная амплитуда
Пусть f(x) - четная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) .
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
= ; =
= 0 , где n=1,2, ...
Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так: Пусть теперь f(x) - нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x).Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы: , где n=1,2, ...Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:
Если функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то , где ,
, ,
Рядом Фурье для функции в интервале называется тригонометрический ряд
, (6)
где коэффициенты ряда , , (n=1, 2, 3,…) вычисляются по формулам Фурье:
; (n=1, 2, 3,…); (n=1, 2, 3,…). (9)